Egy végtelen sugarú körben a sugár = az átmérővel? Vagy az átmérő azért hosszabb, "végtelenebb" mint a sugár?

A végtelent sok ember úgy képzeli el, mint valami nagyon-nagyon nagy szám. Elképzel egy 1-est meg nagyon sok, több „csilliárd” nullát. Pedig ez nem a végtelen, csak egy nagyon nagy szám, aminél végtelenszer több nagyobb szám van, mint kisebb.

A végtelen nem egy szám, hanem egy tulajdonság, azt mutatja, hogy egy érték bármilyen számnál nagyobb. Több oldalról meg lehet közelíteni a témát, itt leginkább határértékként érdemes kezelni. Itt viszont bizonyos műveletek máshogy működnek, illetve értelmezhetetlenek, a véges világhoz szokott agyunk számára ellentmondásosnak tűnnek.

Eleve nincs végtelen sugarú kör. A végtelen itt azt is jelenti, hogy határtalan. Egy 4 cm sugarú kör azt jelenti, hogy van egy határ, a középponttól 4 cm távolságra, és ez a határvonal alkotja a kört. Ha a kör sugara végtelen, akkor nincs ilyen határ. Akármeddig mész sugárirányba, soha nem kerülsz közelebb a határhoz. Mert nincs ilyen határ. A végtelen pont arról szól, hogy nem tudsz a középponttól olyan távolságra elmenni, aminél ne tudnál még távolabb menni úgy, hogy még mindig a körön belül vagy.

De vázoljuk fel a problémádat egy egyszerűbb kérdéssel. Vannak ugye nemnegatív egész számok: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …. A kérdés az, hogy hány nemnegatív páros szám van. Itt a „józan paraszti ész” egészen mást fog mondani, attól függően, hogy hogyan képzeli el ezen páros számok képzését:

1. El lehet úgy is képzelni, hogy fogjuk és minden második számot – ami páratlan –, kihúzunk ebből a számsorból: 0, [1], 2, [3], 4, [5], 6, ….

Ilyenkor a „józan ész” azt mondja, hogy a páros számok száma fele akkora, mint az egész számok száma, hiszem minden második számot kihúztunk.

2. De el lehet úgy is képzelni, hogy minden nemnegatív egész számot megszorzunk kettővel: 0*2, 1*2, 2*2, 3*2, 4*2, 5*2, 6*2, … = 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, …

Ilyenkor a „józan ész” azt mondja, hogy a páros számok ugyanannyian vannak, hiszem nem húztunk ki semmit, minden számból csináltunk egy és pontosan egy páros számot, és minden páros szám egy és pontosan egy egész számból állhatott csak elő. (Kölcsönösen egyértelmű ráképezés, azaz bijekció történt.)

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

A határérték számítás lényege, hogy egy-egy kifejezést nem az adott, értelmezhetetlen pontnál vizsgálunk meg, hanem közelítünk ehhez a ponthoz, és megnézzük, hogy a kifejezés értéke hova közelít. Ha a kör sugara „r”, akkor az átmérő: d=2r. Ha a kör sugarát a végtelenhez közelítjük, akkor az átmérőre ezt kapjuk:

lim[r→∞] 2r = ∞

(Értsd: a sugárt a végtelen felé közelítve az átmérő is minden határon túli, azaz végtelen lesz.)

Viszont ha az átmérő és a sugár arányát nézzük, akkor meg ezt kapjuk:

lim[r→∞] 2r/r = lim[r→∞] 2 = 2

(Értsd: a sugárt a végtelen felé közelítve az átmérő és a sugár aránya nem változik, ugyanúgy 2 marad. Ha 10 egység sugarú körnél is 2 ez az arány, 100 egység sugarú körnél is, 1 kvadrillió egység sugarú körnél is, tehát végtelen sugarú körnél is, hiszen az arány független az r értékétől, a képletet lehet a sugárral egyszerűsíteni.)

Itt egészen mások az összefüggések. Néhány belőlük:

(n egy véges számot jelöl.)

∞+n = ∞

∞-n = ∞

∞*n = ∞

∞/n = ∞

∞ⁿ = ∞

ⁿ√∞ = ∞

∞+∞ = ∞

∞-∞ = akármi is lehet, lehet nulla, egy konkrét – akár negatív – szám is, vagy végtelen is

∞*∞ = ∞

∞/∞ = akármi is lehet, lehet nulla, egy konkrét szám is, vagy végtelen is

∞^∞ = ∞

∞*0 = akármi is lehet, lehet nulla, egy konkrét szám, vagy végtelen is

∞/0 = akármi is lehet, lehet nulla, egy konkrét szám, vagy végtelen is

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

A végtelen a határérték számításban csak egyféle végtelent jelent. Pusztán azt fejezi ki, ha egy érték a végtelenhez közelít, hogy nem tudsz olyan nagy számot mondani, aminél ez az érték nagyobb.

A végtelen másik megközelítési formája halmazelméleti. A természetes számok halmazának végtelen sok eleme van. De hány eleme van a páros természetes számok halmazának? Mint fent ecseteltem ugyanannyi, hiszen tudunk olyan kölcsönösen egyértelmű megfeleltetést csinálni a két halmaz elemei között, hogy az egyik halmaz elemeihez egy és pontosan egy elemet feleltetünk meg a másik halmazból úgy, hogy minden elemnek pontosan egy párja van, és viszont. Ilyen módon a végtelen halmazok összehasonlíthatóak. Ezt a tulajdonságot hívják számosságnak. Anno felmerült a kérdés, hogy például a racionális (két szám hányadosaként felírható) számok számossága milyen, hiszen míg a természetes számok egy számegyenesen ábrázolhatóak, addig a racionális számok egy kétdimenziós koordináta-rendszerben ábrázolhatóak, ahogy a szám y/x alakú. Itt azt találták, hogy ezek is felfűzhetőek egyetlen számegyenesre. Valahogy így: [link] .

Azaz fel lehet sorolni racionális számokat – egy (szám)egyenesre fűzhetőek fel –, egy adott véges racionális számról meg lehet mondani, hogy hányadik a sorban, és ez egy véges sorszám lesz. És meg lehet mondani, hogy a felsorolás egy véges sorszámához pontosan melyik véges racionális szám tartozik.

Aztán felmerül a kérdés, hogy a valós számok számosságával mi a helyzet. Cantor bebizonyította, hogy a valós számok számossága nagyobb, mint a természetes számoké. A bizonyítás annyira egyszerű, hogy talán egy 8 éves gyerek is megérti: [link]

Végtelenebb, de nem nagyon sokkal.

A területe pl sokkal végtelenebb.

[link]

Ezzel szoktak rendet vágni az olyan olyan kérdésekben, hogy hogy s mint viszonyulnak egymáshoz a végtelen nagy dolgok.

Lényegében arról van szó hogy a végtelenre akkor igaz valami ha teljesül egy (vagy minden) sorozatra. És akkor kapsz egy szép és konzisztens rendszert, amelyben már nyugodtan számolhatsz különbözõ végtelenekkel, nagyjából ugyanúgy ahogy a sima számokkal szoktál.