Mi az alábbi halmazok torlódási-, belső- és izolált pontja?

A halmaz:

torlódási pontjai: [-2,5]

belső pontjai: ]-2,5[

izolált pontja:{}

B halmaz:

torlódási pontjai: [3,8]

belső pontjai: ]3,8[

izolált pontja: {}

C halmaz:

torlódási pontjai: {}

belső pontjai: {}

izolált pontja: {5,6}

D halmaz:( ]-2;5] metszet [3;8[ ) unio C={5;6}=[3;5] unio {6}

torlódási pontjai: [3,5]

belső pontjai: ]3;5[

izolált pontja: {6}

Merem remélni, hogy C=[5;6]. Különben az általad leírt jelölés nem létezik a topológiában.

A torlódási pont egy topológiai fogalom, egy X topologikus tér S részhalmazára vonatkozóan. Az x pontot (amely X eleme, de nem szükségszerűen eleme S-nek) akkor nevezzük torlódási pontnak ha "közelíthető" S-ben lévő pontokkal vagyis bármely környezete az x pontnak tartalmaz x-től különböző S-ben lévő pontokat. Fontos, hogy magának az x pontnak nem muszáj az S halmaz elemének lennie. Ez a fogalom fontos építőeleme olyan fogalmaknak mint a zárt halmaz és egy halmaz lezártja.

D=(A∩B)∪C=[3;5]∪[5;6]=[3;6]

Feltehető, hogy itt X=R és itt S az {A,B,C,D} halmazrendszerből veendő. Azonnal megállapítható, hogy egyik ponthalmaznak sincs izolált pontja. A belső pontok a halmazok lezárásával nyerhetők. Így az A-nak -2, míg a B-nek 8 nem belső pontja. A többi pont belső pont lesz. A belső pontok mindig torlódási pontok, ugyanakkor az A-nak -2, míg a B-nek 8 már torlódási pontja, mert ahogy a definíció is állítja, ezek is közelíthetők egy belső pontokból álló sorozattal. Sz. Gy.

Korrekció.

Igen Henike00 nevű felhasználó jól válaszolt az A és B halmazok vonatkozásában. Így nem a belső pontok, hanem a torlódási pontok nyerhetők ki a halmazok lezárásával. C={5;6} valójában mégis létezik az 5 és 6 egészekből áll, de nem ponthalmaz.

Így D=(A∩B)∪C=[3;5]∪{5;6}={[3;5];6}. Henike00 itt is jól válaszolt és a közelítés [3;5] részintervallumaiból álló sorozattal értendő. És elnézést kérek a kérdezőtől. Sz. Gy.