Mekkora a valószínűsége?

n-ből k egymás mellett van:

A kedvenceket k! módon tudjuk összeragasztani. A maradék n-k könyvet plusz az egyetlen összeragasztottat (n-k+1)! sorrendbe rakhatjuk. Tehát a valószínűség:

k! · (n-k+1)! / n!

Ez k=1 esetén éppen 1, annál nagyobb valószínűség biztos nem lehet, ez a maximum.

Minimum:

Adott n esetén ugyanott van a minimum, ahol a számlálónak is. Vagyis k! · ([n+1] - k)! minimuma a kérdés.

Tegyük fel, hogy k < (n+1)/2, vagyis k < (n+1)-k

Legyen a < b

a! · b! = (a+1)! · (b-1)! · b/(a+1) ≥ (a+1)!·(b-1)!

Tehát ha közelítjük a-t b-hez, akkor csökken a szorzat értéke. A minimumot a=b-nél éri el.

Tehát a minimum k = (n+1)/2, ha n páratlan.

Ha n páros, akkor k=n/2 és k=n/2+1 egyforma minimális faktoriális-szorzatokat ad.