A természetes számok hány %-ka prím?

Érdekes (és nehezen értelmezhető) dolgok jönnek ki, ha végtelen nagy és végtelen kicsi mennyiségekkel kezdünk számolni. Ha nem ragaszkodsz az természetes számok teljes halmazához és megelégszel az x-nél kisebb természetes számok részhalmazzal, prímszámtétel a válasz a kérdésedre:

[link]

Teljes halmaznál szintén, csak azt nehezebb értelmezni!

Kapsz problémát ajándékba:

a természetes számpárok hány százaléka relatív prím?

Ez már egy konkrét, nemnulla szám lesz.

Benne lesz a képletben a négyzetszámok reciprokösszege, a pi^2/6 is valahol.

Próbáld megoldani mielõtt megnéznéd, talán nem olyan vészesen nehéz.

Nem jó a kérdés, mert megszámlálhatóan végtelen halmazról és annak szintén megszámlálhatóan végtelen részhalmazáról van szó.

Azt tudjuk, hogy minden megszámlálhatóan végtelen halmaz bármely végtelen részhalmazának számossága ekvivalens egymással. Vagyis ha van egy megszámlálhatóan végtelen halmazom akkor meg tudom minden egyes elemét sorszámozni, úgy hogy egy elemhez egyértelműen tartozik egy sorszám és minden sorszámhoz egyértelműen tartozik a halmaz egy eleme.

A természetes számoknak létezik olyan sorrendje (sőt végtelen sok ilyen sorrendje is), hogy ebben a sorrendben minden második prím a többi nem prím, de olyan sorrend is létezik hogy csak minden 5000.-ik lesz prím, de olyan is lehet hogy 1 milliárdból csak 1 db nem lesz prím.

Jaa hogy te a szokásos növekvő sorrendre gondoltál, egy halmazon nincs sorrend, kivéve ha rendezett halmaz. Az hogy hány %-ba fordul elő valami valamik közül az nem függ a sorrendtől. Úgy van értelme a kérdésnek ha úgy tesszük fel a kérdést, hogy a k küszöbérték alatt lévő természetes számok közül, hány százalék lesz prím. Hogy változik az érték k függvényében? A k változó egy konkrét értéke ennek az f(k) függvénynek egy konkrét értéke. A k értékét a végtelenbe tartatjuk ekkor hova fog tartani f(k)?

Nullához. Vagyis ha az f(k)-nál ahol k tart a végtelenbe ezt is hozzávesszük a matematikai konstrukcióhoz mint elemet, akkor a nulla értéket kapjuk.