Van-e prímszám ebben a sorozatban?

Bináris gondolkodású lévén, azért rákérdeznék: milyen számrendszerben értelmezzük a fenti számokat?

Amennyiben tizes, az első és minden 3. szám tutira osztható 3-mal, mert számjegyeinek összege osztható 3-al.

Mérnök lévén csak a következő gondolatmenetet tudom elképzelni a probléma megoldására:

A sorozat egy rekurzív sorozat, 101 az első tag, és minden tag az előző tag 100* +1

Ezután egy "Eratoszthenész szitája" algoritmussal nagy valószínűséggel megtalálható a prím. csak sejtésem van arra, hogy előbb - utóbb akad egy prím.

(nem ez lenne az első sejtés, aminek bizonyítására programot írnak, és ennek eredményével bizonyítanának vagy cáfolnának. Mondjuk a kérdésre válaszként elég lenne egy prímet találni, ezért gondoltam a problémát erőből megközelíteni.

Általánosságban az a alapú számrendszerben felírt 101...01 (n db 1-es) szám pontosan akkor prím, ha

az f(a,n)=a^(2*(n-1))+a^(2*(n-2))+...+a^2+1 polinom irreducibilis,de

f(a,n)=(a^2)^(n-1)+(a^2)^(n-2)+...+a^2+1=((a^2)^n-1)/(a^2-1)=((a^n)^2-1)/(a^2-1)=[(a^n-1)*(a^n+1)]/[(a-1)*(a+1)]

Ha n páratlan, akkor a számlálóból kiemelhető (a-1)*(a+1) és kész vagyunk.

Ha n páros, akkor viszont a^n-1=(a^(n/2)-1)*(a^(n/2)+1).

Ha n/2 páratlan, akkor kiemelhető a számlálóból (a-1)*(a+1).

Ha n/2 páros, akkor a a^(n/2)-1 ismét szorzatra bontható.

Ezt iterálva lesz egy olyan j, hogy n/(2^j) (ha más nem j=log(2)(n)) páratlan és a nevezővel le tudunk egyszerűsíteni.

Azt azért mondtam, hogy "mikor hány jegyű az a 9090...-es tag arra nem jöttem rá, hogy mitől függ", mert gépi tesztek alapján ahol 9090...91 alakú számokat néztem, hogy melyik osztja az általam s-nek nevezett sorozat i-edik tagját.

AZ s-t definiálva s(i)= ha i=1 akkor 10101 különben 101*s(i-1) és i € {1,2,3...}

Az s(7)-et és s(13)-at és s(19)-et stb osztja a 91,

az s(23)-at és s(33)-at és s(53)-at stb osztja a 9091,

az s(47)-et és s(75)-öt és s(89)-et stb osztja a 909091 stb. stb.

Persze aztán néztem, hogy az általad írt szabály szerinti osztók is osztják.

Mindezek előtt (amikor szó se volt erről) meg azt néztem hogy melyek a legkisebb valódi osztói. (A gépet is "megizzasztva".)

Csak néhányat felírva ezekből: s(1) -> 3, s(2) -> 73, s(3) -> 41, s(4) -> 3, s(5) -> 239, s(6) -> 17, s(7) -> 3, s(8) -> 41, s(9) -> 11, s(10) -> 3

"Rádöbbentem, hogy ha kettes számrendszerben értelmezzük a feladatot, akkor UGYANEZ a megoldás!

A 101 (5) prím, és nincs több prímszám ebben a sorozatban"

Az 101 nincs is a sorozatban, hiszen 10101-tól indul. Mellesleg a 10-es számrendszeben felírt 101 is prímszám.