Komplex számoknál i-ből lehet négyzet- és köbgyököt vonni?

Lehet. Viszont azt tudd, hogy egy komplex számnak a komplex n-edik gyökvonásakor n db eredmény adódik.

wolframalpha elboldogul a köbgyök i vel:

[link]

Igen, ráadásul könnyedén be lehet látni; ha már tudjuk, hogy C zárt, minden műveletre, akkor biztos, hogy gyök(i) is komplex szám lesz, vagyis felírható a+bi alakban, ahol (definíció szerint) a és b valós számok. Ezek alapján:

gyök(i)=a+bi |négyzetre emelünk

i=a^2+2abi-b^2

Két komplex szám akkor és csak akkor egyenlő egymással, hogy valós és képzetes részük egyenlő, vagyis

0=a^2-b^2

1=2ab

Ezzel kaptunk egy kétismeretlenes egyenletrendszert, amit meg tudunk oldani; a második egyenletből 1/(2a)=b adódik, ezt beírjuk az elsőbe:

0=a^2-(1/(2a))^2 |kibontjuk a zárójelet, majd 4a^2-tel szorzunk:

0=4a^4-1, ennek a megoldása

+-gyök(1/2)=a. Mivel b=1/2a volt, ezért b=+-1/(2*gyök(1/2)), ez átírható +-1/gyök(2) alakra..

Ezután meg lehet nézni, hogy a gyök(1/2)+i/gyök(2), illetve ennek az ellentétének a négyzete valóban i-vel egyenlő-e.

Sajnos ez a módszer csak addig működik, amíg olyan (fokú) polinomot kapunk, amit meg tudunk oldani, tehát például hetedikgyök(i) végigszámolása ezzel a módszerrel nem fog menni, illetve közelítő megoldásokat fogunk rá kapni.

Szerencsére kitalálták a komplex számoknak a trigonometrikus alakját, és hogy abból hogyan lehet könnyen meghatározni az összes gyököt, ráadásul nem is túl bonyolult, úgyhogy érdemes azt begyakorolni és használni.