Mennyi d/dx i[x]?
Jelölje i[x] az x. bázisegységet (vektort).
Pl.:
i[0]=1 := jobbra
i[1] := előre
i[2] := felfelé
A kérdés: mennyi d/dx i[x]?
Odáig jutottam, hogy:
di[x]/dx = lim(h->0) (i[x+h]-i[x])/h = i[x] lim(h->0) (i[x+h]/i[x]-1)/h
Tehát most már csak az a kérdés, hogy mi
(i[x+h]/i[x]-1)/h
határértéke.
Mi lenne, ha azt mondanám, hogy
integrál (di[x]/dx)/i[x] dx = ln|i[x]| = 0
amiből
(di[x]/dx)/i[x] = 0
vagyis
di[x]/dx = 0
Lehetséges ez?
válasza:Szerintem nem, mivel határozatlan integrálnál megjelenik egy konstans.
De miért is akarunk bázisvektorokat deriválni?
Igazad van, tényleg nem 0.
Mert:
lim(h->0) (i[x+h]-i[x])/h = i[x]lim(h->0) (i[x+h]/i[x+h]-i[x]/i[x+h])/h = i[x]lim(h->0) (1+i[x]i[x+h])/h
(Mert -i[x]/i[x+h]=i[x]i[x+h])
És tudjuk, hogy lim(h->0) i[x]i[x+h] = -1
Már csak azt kell belátni, hogy
lim(h->0) (1-1)/h = 1
Amiből az következik, hogy
di[x]/dx = i[x]
(Ezt azért csinálom, hogy vizualizálni tudjam, az y=i[x] függvényt. Tudni szeretném hogy néz ki.)
válasza:> di[x]/dx = i[x]
Na, akkor meg is vagy, pont úgy néz ki, mint az exponenciális fv.
Micsoda véletlen egybeesés!
De viszont:
i[x]' = i[x]
i[x]'/i[x] = 1
Integráljuk mindkét oldalt:
ln|i[x]| = x
|i[x]| = e^x
Ez viszont már súlyos ellentmondásnak tűnik, hacsak nem egy úttörő összefüggés, ami felülírja, hogy |i[x]| = 1, mert i[x] bázisEGYség.
Akkor most mi az igazság?
válasza:Olyan függvényt keresel, amelyik R-ből az egységgömb felületére egy "csigavonalba" képez, hogy az egészek képe éppen a bázisvektorok legyenek?
(még mindig nem teljesen világos nekem, hogy mit szeretnél lederiválni)
Mert komplexben az e^(pi/2*i*z) egy paraméterezése az egységkörvonalnak (nyilván magasabb dimenzióban az egységgömb nem egydimenziós)
Feltételezéseim szerint, az a "baj", hogy ezek a bázisegységek lineárisan függetlenek.
Így abba se vagyok biztos, hogy a függvény egyáltalán differenciálható ... én csak kaptam egy eredményt, ami vagy jó vagy nem.
Az biztos, hogy a y=i[x] függvény grafikonja nem egységgömbön terjed "csigavonalban", hiszen azt tettük fel, hogy ezek a bázisegységek lineárisan függetlenek, vagy még sem?
válasza:Már leírtak korábban: diszkrét pontokat nem tudsz deriválni. Pláne így.
Ahogy leírod hogy i[x+h] és átalakítasokat végzel vele, szerintem ott hibás is (amellett hogy elírod), én legalábbis nem tudok ilyen azonosságokról.
> Nos, ezeknek a bázisegységeknek az értékei csak önmagukkal fejezhetőek ki*, mert lineárisan egymástól függetlenek. Ez vizuálisan azt jelenti, hogy pl. az i[0.5] nem vhol az i[0] és i[1] által kifeszített síkban (a két bázisegység között) fekszik, hanem egy külön dimenzióban.
Abban a térben, amelyikben dolgozol, rögzíts egy bázist.
Ez persze nem segít azon hogy egy olyan függvényt akarsz deriválni, amit nem definiáltál. Ha nem is szükséges hogy pont 0.5-ben, de pl a 0 körül definiálnod kéne, a deriválás ugyanis ezt jelenti, meghatározod a legjobban közelítõ lineáris leképezést, így amennyiben (lokálisan) csak 1 pontban van megadva, akkor ez értelmetlen.
> (Mert -i[x]/i[x+h]=i[x]i[x+h])
Ezt mi alapján? Nézd, ha vannak összefüggéseid i[x+h]-ra, akkor talán ki tudjuk neked terjeszteni, de azok hiányában... Nos, nem tudsz i[x+h]-val számolni, hiszen az, hogy néhány pontban mit vesz fel a függvény, nem határozza meg hogy i[x+h]-ban mit vegyen fel (elõfordulhat hogy ez nem baj, de most talán nem az a helyzet).
Például n=2-re az, hogy a negyedkörívet paraméterezed x-szel, egy jó függvény, 0-ban az egyik, 1-ben a másik bázisvektort veszi fel. De rengeteg sok ilyen differenciálható görbe van, amelyiknek ugyanaz a két végpontja (csak a végpontjait írtad elõ)
n=3-ra jó görbe lehet a koordinátasíkok által az egységgömbbõl kimetszett 3-derékszögû gömbháromszög (noha 0,1,2-ben nem diffható), de akár egy kör is illeszthetõ a három bázisvektor végpontjaira, és bejárhatod azt a görbét is [0,3]-on. Ekkor tök más eredményt kapsz.
> A d/dx operátor az x irányú parciális deriváltat jelenti?
> Igen.
Nem, x a paramétered. Ha x az egyik koordinátatengely lenne nem lehetne az i[x] olyan amilyet szeretnél. Illetve két külön, ugyanolyan nevû x-ed lenne, és nem használhatnád így a deriválási szabályokat.
Miből gondolod, hogy a grafikon pontjai diszkrétek?
Ezt a kérdést úgy tudjuk eldönteni, hogy megpróbáljuk deriválni a függvényünket. Ha sikerül, akkor a függvény folytonos, ha nem, akkor meg beláthatjuk, hogy igazad van: diszkrét.
>...én legalábbis nem tudok ilyen azonosságot.
Erre gondolsz?: 1/i[x] = -i[x]
Mit írtam el? (Lehet, hogy vmit tényleg elírtam...)
>...olyan függvényt akarsz deriválni, amit nem definiáltál.
Vhogy úgy lehetne definiálni a bázisegységeket, hogy egység hosszúságú* a többire merőleges vektor.
(*: a fenti összefüggések arra vezettek, hogy az x. bázisegység hossza exp(x).)
Te hogy definiálnád a bázisegység fogalmát ebben az esetben?
Mi lenne, ha azt mondanám, hogy?:
Ahogy diszkrétek a természetes számok, úgy diszkrétek a természetes szám indexű bázisegységek, és ahogy folytonosak a valós számok, úgy folytonosak a valós szám indexű bázisegységek is.
Szerinted életképes az analógia?
További kérdések:
Minden jog fenntartva © 2024, www.gyakorikerdesek.hu
GYIK | Szabályzat | Jogi nyilatkozat | Adatvédelem | Cookie beállítások | WebMinute Kft. | Facebook | Kapcsolat: info(kukac)gyakorikerdesek.hu
Ha kifogással szeretne élni valamely tartalommal kapcsolatban, kérjük jelezze e-mailes elérhetőségünkön!