Szerintetek jó a gondolatmenet?

Azt akarjuk bizonyítani, hogy a racionális számok mindenütt sűrűn helyezkednek el a valós számok között. (Igen, feltettek egy másik ilyen kérdést, arról jutott eszembe. xD)

Tekintsünk két párhuzamos számegyenest e-t és f-fet, ahol a 0 pontok egy egyenesbe esnek.

Az e számegyenesen jelöljünk ki egy (a,b) intervallumot, és tegyük fel (indirekt), hogy nincs benne racionális szám.

Jelöljünk ki f-fen egy r racionális számot, és egy (c,d) intervallumot úgy, hogy r*eleme*(c,d), illetve

b-a=d-c

(c,d), illetve (a,b) között létesíthető kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés.

Osszuk fel (c,d)-t két intervallumra: (c,r), (r,d).

Mind (c,r), mind (r,d) intervallumok és (a,b) között létesíthető kölcsönösen egyértelmű leképzés.

Mivel (c,r) minden pontjához hozzárendeltük (a,b) egy pontját, illetve (a,b) minden pontjának van őse (c,r)-ben, azt kapnánk, hogy az r határpont és (a,b) egy pontja között nincs megfeleltetés. Ez azt jelentené, hogy (a,b) és (c,d) között nincs kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés. Ez pedig ellentmondás, vagyis (a,b)-nek tartalmaznia kell racionális számot.