Hány platóni "test" létezik 2,3,4 . stb. dimenziókban?

n-dimenziós platóni (vagy inkább szabályos, mert Platón nem hiszem, hogy gondolt ilyesmikre…) test alatt ugye azt értjük, hogy a csúcsai környezetei egybevágóak és szabályosak (ezt most nehéz lesz definiálni, de mindegy), és minden i < n pozitív egész számra az i-dimenziós hiperlapok is platóni testek.

Így a válasz a kérdésre:

0D: 1 darab (a pont)

1D: 1 darab (a szakasz)

2D: végtelen sok (szabályos 3-szög, 4-szög,…)

3D: 5 darab (szabályos tetraéder háromszögekből, hexaéder négyszögekből, oktaéder háromszögekből, dodekaéder ötszögekből és ikozaéder háromszögekből)

4D: 6 darab (az 5-cella tetraéderekből, a 8-cella kockákból, a 16-cella tetraéderekből, a 24-cella oktaéderekből, 120-cella dodekaéderekből és a 600-cella tetraéderekből)

A nagyobb dimenziókban pedig mindig csak 3 darab létezik, az egyik a tetraéder megfelelője, amit úgy kapunk, hogy hozzáveszünk egy (megfelelő) pontot az eggyel kevesebb dimenziós tetraéder megfelelőhöz (ugye például a szabályos háromszög súlypontja felett megfelelő magasságban felvéve egy pontot a tetraédert kapjuk), a kocka megfelelője, amit az eggyel kevesebb dimenziós kockamegfelelőből úgy kapunk, hogy megfelelően eltoljuk, és az eltolás vonala mentén összekötözgetjük a csúcsokat, a harmadik pedig a megfelelő hiperkocka duálisa lesz, aminek házi feladat utána nézned, hogy mit jelent. A tetraéder megfelelőit amúgy szimplexnek, a hiperkocka duálisát pedig keresztpolitópnak is hívják.

Hát… A kocka megfelelői mindenhol játszanak, 3D-ben csak ez van, 4D-ben megy még a 16- és 24-cella is,… Többen meg fene tudja.

Az egy fontos kritérium, hogy a hiperlapszögnek osztani kell a teljes szöget (például a háromszög esetén a 60°-nak egész számú többszöröse a 360°, mint ahogy a négyzet esetén a 90°-nak vagy a hatszög esetén a 120°-nak), ez alapján például lehet kizárni dolgokat. Általában a szimplex és a keresztpolitóp is kiesik, de fogalmam sincs, hogy minden dimenzióban így lesz-e.

Körülbelül ennyi ment fejből, de itt nem csak euklideszi, hanem hiperbolikus terekre is diszkutálják a dolgot:

[link]

Jó böngészést!