Fourier-sor, transzformáció?

Melyiket szeretnéd tudni? A sorfejtést, vagy az F-transzformációt?

Jó, van közöttük analógia és hasonlóság, de ha külön-külön érti az ember, utána jobban megérti egybe...

Nagyjából így tudnám összefoglalni, persze ez matematikailag nem pontos, a matekhoz addig értek, amíg használni kell, nem leírni:

A Fourier-transzformáció egy függvény frekvencia spektrumát adja meg. Leírja, hogy az adott hullám (vagy bármilyen jel) milyen frekvenciákból áll, és milyen "erősen" szólnak. Pl. egy hanghullámnál, egyszerű szinusz hullám esetén meg lehet mondani "szemmértékre", hogy milyen frekvenciája van, de ha több száz hang szól egyszerre, akkor segít a Fourier-transzformáció.

Egy szabályos zenei hanghullám egy szinusz-görbe (vagy koszinusz, de az ugyan az, csak eltolva). A legtöbb periodikus függvény (legyen az bármilyen formájú) pedig felbontható különböző frekvenciájú szinusz és koszinusz függvények összegére, valahogy így:

[link]

(itt a frekvencia spektrum a jobb-oldal, ahol az amplitúdók vannak feljegyezve a különböző frekvenciáknál, nagyjából a Fourier-transzformáció is hasonlót ad meg)

A 2pí-szerint periodikus függvények így írhatóak fel:

[link]

Ez a függvény Fourier-sora. A legtöbb esetben elég csak az első pár tagig összegezni, és az már jól közelíti az eredeti függvényt. A különböző a(k) és b(k) Fourier-együtthatók megmondják, hogy az adott (k-adik) frekvencia milyen "erősen szól": a k-adik frekvencián szóló hang amplitúdója gyök(a^2 + b^2).

Egy kis algebra-zsonglőrködéssel a sor átírható komplex alakba is, innen jön, hogy komplex számokat ad meg a Fourier-transzformáció is.

A baj az, hogy a Fourier-együtthatók ugyan meghatározhatóak (lásd a definíciójukat), de azok csak egy bizonyos ("k-adik") frekvenciára vonatkoznak, miközben a valóságban végtelen frekvencia van. (persze, sokszor ezek is jók, sőt a legtöbb esetben ezt is használják jel analízis során, ebből van levezetve a diszkrét Fourier-transzformáció is. Ott az integrálokat téglalap-módszerrel végzik, mert egy hanghullámot csak véges-sok pontban lehet megmérni, ez numerikusan nyújt egy általános megoldást).

Van egy f0 frekvencia (ami a vizsgált T periódus esetén 1/T), a k-adik pedig f0*k. Ekkor láthatod, hogy a frekvenciák közötti különbség mindig df = f0*(k+1) - f0*k = f0, tehát 1/T. Innen jön az ötlet, hogy ha a teljes értelmezési tartományon vizsgáljuk a függvényt, akkor T->végtelen, df -> 0, tehát egy folytonos függvényt kapunk, ami minden frekvenciára ad egy értéket. Ez a Fourier-transzformáció, és komplex értéket kapunk.

Szóval ez a lényege, de kiderült, hogy másra is lehet használni. Pl. egy függvény deriváltjának a F.-transzformáltja ugyanaz mintha, ha az eredeti függvény F.-transzformáltját szoroztuk volna meg egy egyszerű komplex függvénnyel. A konvolúció nevű igen nagy számításigényű és gyakran használt művelet is két függvény összeszorzására egyszerűsödik le.

Szóval ha sok hasonló műveletet végzel el egyszerre, pl. egy hang zajtalanítását, bandpass-filterek alkalmazását, vagy egy kép módosítását filterekkel, akkor érdemes előbb transzformálni a jelet (vagy képet, azt is lehet), majd utána elvégezni a jóval egyszerűbb változtatásokat, majd vissza-transzformálni, de általában diff egyenletekre is lehet alkalmazni.

[link]

Persze az előbbi mind üres szöveg matek nélkül, ezért linkelem még ezt is, nekem hasznos volt, olvasgasd a definíció levezetéséig, mert szerintem azzal lesz tiszta a kép, hogy a Fourier-transzformáció akkor most mi a francért is komplex értékű ha valami amplitúdó-szerű dologról van szó, meg miért vannak negatív frekvenciák:

[link]