Matek feladat, hogyan kell megoldani? Valószínűség számítás

A megoldást a hipergeometrikus eloszlás adja meg.

[link]

Konyhanyelven:

Annak az esélye, hogy 9 piros golyó lesz:

Az összes eset: (10000 alatt 10)-féle módon tudunk kiválasztani 10 golyót.

A hasznos eseteket elképzelhetjük úgy, hogy a 300 piros golyóból kell kiválasztanunk 9-et, majd a 9700 kék golyóból 1-et, előbbit (300 alatt 9) módon tehetjük meg, utóbbit (9700 alatt 1).

Tehát a hasznos esetek száma (300 alatt 9)(9700 alatt 1)

így a valószínűség: hasznos/összes = (300 alatt 9)(9700 alatt 1)/(10000 alatt 10) = (300 alatt 9)*9700/(10000 alatt 10) = 1.699*10^(-13)

Ugyan így annak az esélye, hogy 10 darab piros golyó lesz:

(300 alatt 10)(9700 alatt 0)/(10000 alatt 10) = (300 alatt 10)*1/(10000 alatt 10) = 5.097*10^(-16)

A keresett valószínűség ennek a kettőnek az összege: 1.704*10^(-13)

Ezzel az a baj, hogy nem lehet kiszámolni a binomiális együtthatókhoz a faktoriálisokat, mert túl nagy számok. Az együtthatókhoz lehet használni a számológép nCr gombját.

ITT AZ EGYSZERŰBB MEGOLDÁS IS :D

Annak az esélye, hogy 9 piros golyó lesz:

300/10000 * 299/9999 * 298/9998 *...*292/9992 * 9700/9991 * 10 = 1.699*10^(-13)

Jól látható, ahogy csökken a piros golyók száma, és az összes golyó száma is, a végén pedig egy kéket is választunk. Ellenben nem csak utoljára választhatunk, hanem először, másodjára, harmadjára... stb is, azaz összesen tízféleképpen, innen a 10-el szorzás (valójában 10 alatt 1). Beláthatod, hogy bármilyen sorrend esetén a nevezők ugyan azok maradnak, a számlálóknak pedig csak a sorrendjük változik, ami nem számít mert a szorzás kommutatív.

Ugyan így, ha 10 pirosat választunk:

300/10000 * 299/9999 * 298/9998 * ... * 291/9991 = 5.097*10^(-16)

Összegük: 1.704*10^(-13)

Innentől pedig csak ha érdekel:

Ha nem kell nagy pontosság, akkor a hipergeometrikus eloszlás (amennyiben az összes, valamint a keresett darabokhoz képest keveset választunk) közelíthető binomiális eloszlással:

[link]

Annak a valószínűsége, hogy egy pirosat kihúzunk: 300/10000 = 0.03, annak, hogy kéket: 9700/10000 = 0.97

9-szer húzunk pirosat, és egyszer kéket, ennek valószínűsége: 0.03*0.03*0.03...*0.97*10 = 0.03^9 * 0.97^1 * (10 alatt 1) = 1,909*10^(-13)

A 10-es szorzó ismét annak az eredménye, hogy (10 alatt 1) = 10 módon húzhatunk egyszer kéket. Látható, hogy itt már van eltérés a valódi értéktől.

Annak a valószínűsége, hogy 10-szer húzunk pirosat közelítőleg:

0.3^10 = 5.9049*10^(-16)

Összegük: 1.9152 * 10^(-13) Látszik, hogy esetünkben számottevő a különbség.

Pontosabb eredményt kapunk egy további módosítással:

Ha piros golyó húzásának valószínűségét (0.03) kicseréljük a 300/10000, 299/9999, 298/9998 ... stb számok mértani közepével, akkor a pontos eredményt fogjuk kapni. Ehhez azonban ugyanúgy össze kell őket szorozni, plusz még sokadik gyököt is kell vonni. Jó közelítés a mértani közép helyett az első és utolsó érték számtani közepe:

p = (300/10000 + 292/9992)/2

Ekkor annak a valószínűsége, hogy 9 piros lesz:

10 * p^9 * 9700/9991 = 1.69955*10^(-13)

10 piros esetén:

p = (300/10000 + 291/9991)/2

p^10 = 5.099*10^(-16)

Összegük: 1.7046 * 10^(-13) Ez már egész pontos.

És igen, rendkívül sok időm van :D Remélem segítettem!

O.o nincs kedvem végigolvasni amit az első írt.

8nál több piros = 9 vagy 10.

A húzást felfoghatjuk kombinációnak, ahol is:

10 ezer golyóból 10et 10000alatta10 féleképp tudunk kihúzni. ( 10 ezerből választunk 10-et, amit kihúzunk.)

10 pirosat 300alatta10 féleképp tudunk húzni. ( Kiválasztjuk, hogy a 300 pirosból melyik 10-et húzzuk).

10 piros húzásának a valószínűsége: (kedvező / összes): 300alatta10 / 10000alatta10.

9 pirost és 1 kéket pedig ennyi féleképp húzhatunk: 9700alattaz1 * 300alatta9. ( 9700 kékből választunk egyet, valamint 300 pirosból 9-et.) Tehát 9700alattaz1 * 300alatta9 / 10000alatta10 a valószínűsége, hogy 9 pirosat húzunk és 1 kéket.

Az összesített eredmény számszerűsítve ( a kettőt összeadva): 1,70 * 10^-13.

Lásd:

[link]