Mi a megoldás erre a matematikai paradoxonra?

Ha "leejtünk" egy "tűt" egy "lapra", ezek fizikai fogalmak, tehát aki így definiálja a kiválasztást, az ő maga hozza be a fizikai valóságot, és innentől elkerülhetetlen a fizikai korlátok vizsgálata.

Ha viszont valaki ki akar választani egy természetes számot 1-től végtelenig egyenlő valószínűséggel (egyenletes eloszlással), az valóban színtiszta matematika absztrakció. Tehát itt igenis indokolt megkérdezni: milyen algoritmussal? Létezik-e ilyen algoritmus?

De tudod, mit? Ha már annyira algoritmust kérsz egy valós számra:

Adott egy egyenes a síkon. Kijelölünk két tetszőleges pontot a síkon, a valószínűségi változó pedig legyen a két pont által meghatározott egyenes és a felvett egyenes szöge. De tudom, máris jön tőled, hogy milyen algoritmussal jelölünk ki...

A kiválasztásnak annyi köze van a dologhoz, hogy a kérdező nncs tisztában azzal, hogy a "véletlenszerűen" kifejezésnek nincs konkrét értelme. Matematikában a véletlen folyamatokhoz mindig tartozik egy eloszlásfüggvény is. Az is véletlen, amihez egyenletes eloszlás tartozik, meg az is, ami a folytonos intervallumból csak mondjuk 10 lehetséges szám közül választ egyet valamilyen diszkrét eloszlással.

Tehát feltéve, hogy a kérdező a "véletlenszerű" kifejezés alatt egyenletes eloszlást értett, a kiválasztás problémája már le is van tudva.

Innentől kezdve viszont azzal kell tisztában lenni, hogy a jelenlegi folytonos eloszlás esetén a használt valószínűségi mérték nem más, mint az intervallumok hossza. Ezt egy korábbi hozzászóló már említette. Az egyes elemi események, azaz pontok, tehát valós számokhoz rendelt valószínűségek mind nullák, pontosabban fogalmazva nulla mértékűek. Sőt, megszámlálhatóan végtelen sok pontot kiválasztva is még mindig csak nulla mértékű halmazt kapunk, tehát továbbra is nulla valószínűség rendelhető hozzá. Viszont kontinuum sok pontot kiválasztva (ergo véges intervallumokat vagy azok halmazát kiválasztva) az ezekből a véges hosszúságú intervallumok formájában előálló összetett események már nem nulla mértékűek.

Tehát a válasz bizony az, ami már korábban leírásra került: a lehetetlen esemény valószínűsége (valószínűségi mértéke) nulla, de nulla valószínűségi mértékű esemény nemcsak a lehetetlen esemény lehet. Mindez azért van, mert a mérték és az elemszám két különböző fogalom. A lehetetlen esemény, mint halmaz elemszáma nulla, ennek mértéke is nulla, de léteznek nem nulla elemszámú nulla mértékű események is.

"Viszont kontinuum sok pontot kiválasztva (ergo véges intervallumokat vagy azok halmazát kiválasztva)"

Ezt csak annyival egészíteném ki, hogy nem feltétlenül véges intervallumok uniója, ahogy példának felhoztam már, adott intervallumban elhelyezkedő irracionális számok halmaza teljesen széteső, mégsem nullmértékű. De ezen kívül teljesen egyetértek, matematikailag a "véletlenszerűen kiválasztok" az azt jelenti, hogy megadjuk az eseményteret, és egy eloszlást. (a Bertrand "paradoxon" elég jó szemléltetés) A "hogyan választjuk ki" kérdés pedig ebben az esetben matematikailag értelmetlen, felesleges filozofálgatni tűkről, hegyes ceruzákról, véletlen algoritmusokról.

Az azért nagyon bájos, mikor valaki szerint a matematika lényege az apróságokban van, de nem tud megkülönböztetni matematikai állításokat nem matematikai állításoktól.

Egyébként ha még egyszer rájön valakire a tű hegye az atomjaival, gondoljon a kiválasztási axiómára.