Mi a megoldás erre a matematikai paradoxonra?

"Hol olvastatok ti olyat, hogy a 0 valószínűségű esemény nem biztos, hogy lehetetlen?"

Matek órán először, de pl. a te kérdésedben is.

Egy valós számot kiválasztani eleve lehetetlen, mert fizikailag nincsenek meg a feltételei a kiválasztásnak.

Mit értünk az alatt, hogy "kiválasztunk" egy valós számot? Rábökünk a számegyenesre egy hegyes ceruzával? Mennyire kell hegyesnek lennie ennek a ceruzának? Egy atomnál is végtelenszer hegyesebbnek. Miből készüljön a hegye? Vagy állítsuk elő a szám tizedesjegyeit véletlenszám-generátorral. Mennyi ideig kell működtetni ezt a generátort, hogy a valós szám összes jegyét kiadja? Mekkora memória kell a teljes szám tárolásához? Beleférne ez a memóriaeszköz az univerzumba?

Tehát a kiválasztás valóban lehetetlen, bár fizikai, de mégis elméleti okok miatt, ami összhangban áll a 0 valószínűséggel.

Egyszerű diszkrét példa.

Egy dobókockát addig dobunk fel, míg 6-ot nem kapunk.

Pl. annak valószínűsége, hogy a 21. dobásnál lesz az első 6-os:

(⅚)²⁰ · ⅙ ≈ 0,0043

Lehet, hogy sohasem kapunk 6-ost?

Miért ne lehetne, a kockának nincs sem emlékezete, sem lelkiismerete, a 100 trilliomodik nem 6-os dobás után sem kötelező a 6-os. Nem „lehetetlen esemény”, de a valószínűsége 0.

Komplementer példa.

Biztos, hogy előbb-utóbb lesz 6-os? Nem biztos, ez nem „biztos esemény”, de a valószínűsége 1.

Úgy is lehetne fogalmazni, hogy

első esetben a valószínűség nem negatív, de bármely pozítív számnál kisebb,

a komplementernél pedig 1-nél nem nagyobb, de bármely 1-nél kisebb számnál nagyobb.

Van a valós számok fogalmának olyan felépítése/kiegészítése, ahol az említett esetek nem feltétlenül 0-t és 1-et jelentenek.

Pontosan a kérdést taglalja egy nevezetes könyv egyik fejezete.

Székely J.Gábor:

Paradoxonok a véletlen matematikájában

IV/8. A nulla valószínűség paradoxona

227-229 old.

Kérdező, ne vitatkozz a tankönyvekkel. Inkább tanulj. Főleg fogalmakat megérteni.

Nincs semmiféle paradoxon, csak annak,aki nem érti a véges és végtelen fogalma közötti alapvető különbséget.

A valószínűség egy arány, az összes és az adott tulajdonsággal rendelkező dolog számának viszonya. Végtelen sok szám és egy konkrét szám közötti arány nulla, de ezt határértékként kell értelmezni. A lehetetlen esemény (mint neve mutatja) soha nem következhet be. A nulla valószínűségű esemény bekövetkezhet (te is ki tudtad szedni azt az említett konkrét számot a végtelen sok közül, hiszen az ott van). Viszont végtelen sok másikat is kivehettél volna,

és annak az egynek a végtelenhez viszonyított aránya nulla.

Tehát bármennyire nehéz elfogadni (hogy nehéz, azt elhiszem), de a lehetetlen esemény valószínűsége pontosan nulla, viszont a nulla valószínűségű esemény nem lehetetlen esemény (még egyszer: mert például te is kivetted).

Itt mindenki osztja az észt meg lepontozgat, de egyik se kapizsgálja a dolog lényegét. Mindenki zsigerből előrántja a határértékeket meg végteleneket, mint valami jolly jokereket, csak az a baj, hogy ennek a paradoxonnak semmi ilyesmihez nincs köze, mert ez a paradoxon nem matematikai, hanem szemantikai természetű, és egy egyszerű nyelvi csapdából adódik.

Gondolkodjatok el azon, hogy minek a valószínűségéről beszéltek. Egy eseménynek, mégpedig a "kiválasztás"-nak a valószínűségéről. Mivel ez egy egyszerű, jól érthető magyar szó, mindenki azt hiszi, hogy nincs vele semmi probléma, természetes, hogy kiválasztás létezik, mindenki jól tudja, mi az, tehát számolható a valószínűsége.

Csakhogy pont itt van a kutya elásva. Kiválasztáson általában olyan dolgokat értünk, hogy odamegyünk egy dobozhoz, és kihúzunk belőle egy golyót. Ez egy egyszerű, jól érthető esemény. De elgondolkodott valaki is azon, hogy ebben a konkrét esetben mit jelent a "kiválasztás"? Tud bárki egyetlen épkézláb algoritmust adni arra, hogy hogyan lehet kiválasztani véletlenszerűen egy valós számot egy intervallumból? Vagy akár csak egyetlen természetes számot az összes közül? Ha ugyanis ez nem megy, akkor a jelen esetben a "kiválasztás" szó egyszerűen egy kiüresedett betűhalmaz, aminek most semmiféle jelentése nincs. Tehát nem hogy 0 a valószínűsége, és nem hogy lehetetlen, hanem egyszerűen nem is létezik. Ti pedig egy nem létező, nem definiált esemény valószínűségéről okoskodtok.

@17: Ok, adok egy eljárást. Leejtek egy tűt egy lapra, a valségi változó pedig legyen a lap egy kijelölt élével bezárt szöge. Na, ez elég valós szám?

De amúgy racionális számokon is megy: Veszek két tetszőleges, különböző természetes számot, majd a kisebbiket a nagyobbikkal elosztom. Mi a valószínűsége, hogy egy kijelölt 0<p<1 számot kapok így?

18-as:

Tűs példa: az a baj, hogy a tű két végpontjának a helyzete csak véges pontossággal határozható meg. Egyrészt azért, mert a tű is atomokból áll, amelyek nem végtelenül kicsik, másrészt a határozatlansági reláció miatt is. Ha pedig ezek a pontok csak véges pontossággal határozhatók meg, akkor összesen csak véges sok különböző helyzetük lehet, sőt nem is jelölnek ki egy konkrét, pontos szöget, csak egy szögtartományt. (Egyszerűbb lett volna azt mondanod, hogy a tűt leejted egy számegyenesre, és a vége kijelöli az adott valós számot, de így is ugyanaz lenne a probléma.)

Racionális számos példa: "Veszek két tetszőleges, különböző természetes számot". Ekkor ugyanabba a csapdába esel, mint az alapfeladatban. A "veszek" itt a "kiválasztok" szinonimája. Persze, ki tudsz választani véletlenszerűen egy természetes számot, de csak egy véges tartományból. Akkor pedig a hányadosok száma is véges lesz. Végtelenből nem tudsz kiválasztani egyenlő valószínűséggel egyetlen természetes számot, vagy ha igen, mondd meg, hogyan.