Populációgenetikai feladatban segítség?

Új generációban az arányok:

két jó kópia: (1-q)^2

két rossz kópia: q^2, ezek meghalnak vagy meg se születnek

hordozó: 2q(1-q), a kettes szorzó azért kell, mert vagy az apa adja a jót és anya a rosszat, vagy fordítva.

Az új generációban így a hordozók aránya: 2q(1-q)/((2q(1-q) + (1-q)^2) = 2q/(q+1).

Az következő generáció q-ja, tehát a sorozat következő eleme ennek a fele, hiszen a hordozók az allél gyakoriságához csak arányuk felében járulnak hozzá, hiszen egy jó és egy rossz kópiájuk van.

A kérdés tehát, hogy hány lépés után éri el a q[n+1] = q[n]/(q[n] + 1) sorozat q[0] = 0,0001-ről indítva a q[n] <= 0,00001 értéket.

Na most ez nem egy egyszerű számtani vagy mértani sorozat, hogy rá lehessen vágni, de ettől még zárt alakba hozható, aminek a részleteit nem írom le, ha nem baj. Nyugodtan mondhatod, hogy beírtad a sorozat képletét a Wolfram Alphába és az megmondta:

[link]

A lényeg, hogy q[n] = 1/(c+n) a zárt alakja. A c paramétert még nem ismerjük, ezért először kiszámoljuk:

q[0] = 0,0001 = 1/(c+0), ezért c=10000.

Tehát a kérdés, hogy mely n-re lesz először q[n] = 1/(10000+n) <= 0,00001, ami már gyerekjáték. A jobb oldal ugye 1/100000, így a megoldás n>=90000. Azaz kilencvenezer generáció kell hozzá.

Hát nem valami életszerű példa, de ez a megoldása. Mondjuk ez várható is volt, tekintve hogy a halálos genotípus aránya egy a százmillióhoz.

Az mindenesetre látszik, hogy az ilyen típusú ritka gének gyakoriságát egyáltalán nem a letalitásukon múló szelekció határozza meg. Ennél a legicurka-picurkább hordozói hátrány is nagyságrendekkel fontosabb faktor, a genetikai sodródásról meg aztán nem is beszélve.