Elmagyarázná ezt valaki? (Differenciál egyenletek)

Mikor az aljára értem láttam csak, hogy nem az egész a kérdés, viszont most már nem törlöm ki azt, amit leírtam.

Ez egy inhomogén, lineáris, másodrendű közönséges differenciálegyenlet. Az inhomogén diff egyenletek általános megoldása felírható úgy, mint a homogén egyenletének az általános megoldása + az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldása. Tehát első feladat a homogén egyenlet megoldása karakterisztikus polinomokkal.

y''-y=0

Feltesszük, hogy a megoldás e^{r*x} alakú, de kíváncsiak vagyunk r értékére, illetve mivel ez a megoldások terének bázisfüggvénye, így általánosan a megoldás a függvény r értékeihez tartozó e-eados tagok lineáris kombinációja. Tehát legalább még egy olyan paraméter értéke kell, amivel megszorozzuk az e-ados tagot. Ehhez tegyük be az e-ados tagot az egyenletbe és deriváljuk le amit kell:

e^{r*x} (r^2) - 1) = 0

Gondolom a deriválást nem kell magyarázni. Az e-ad függvényről tudjuk, hogy aszimptotikusan tart a tengelyek felé, tehát végtelenül megközelíti őket, de soha el nem éri őket, ergo ő tuti nem nulla, így a mellette lévő zárójeles résznek kell nullának lennie, abból pedig jön, hogy:

r^2=1, r=+-1

Tehát két gyöke van az egyenletnek, a megoldás az e-ados függvények lineáris kombinációjával:

y(x)=c_1 * e^{x} + c_2 * e^{-x}

Ez volt a homogén megoldás, kezdeti érték feltételekkel adott fizikai rendszerhez hangolható az egyenlet a c_1 és c_2 konstansok meghatározásával.

Az inhomogén egyenlet megoldása próbafüggvénnyel történik. Ekkor feltesszük, hogy a keresett függvény alakja megegyezik az inhomogenitást okozó tag alakjával. Az inhomogenitást okozó tag egy polinom + trigonometrikus függvény, így a próbafüggvény ennek megfelelően általánosan felírva:

y(x)=a+Acos(x)+Bsin(x)

Tegyük be az inhomogén egyenletbe:

Bcos(x)-Asin(x)-a-Acos(x)-Bsin(x)=1+sin(x)

Gyűjtsük ki az együtthatókat:

cos: B-A=0

sin: -A-B=1

konstans: -a=1, ebből

A=-1/2

B=-1/2

a=-1, ezzel pedig

y(x)=-1-1/2cos(x)-1/2sin(x)

Az általános megoldás:

y_á(x)=c_1 * e^{x} + c_2 * e^{-x} - 1 - 1/2 * cos(x) - 1/2 * sin(x)

Próbafüggvény mindig annak megfelelően írjuk fel, mint amilyen az inhomogenitást okozó tag. Például ha egy polinom az inhomogenitást okozó tag, akkor azt kell általánosan felírnunk. Pl.: x^4

Ezt így írjuk fel: Ax^0 + Bx^1 + Cx^2 + Dx^3 + Ex^4

Gyakorlatilag a matematika megengedi, hogy a függvényeket úgy fogjuk fel mint a vektorokat, vektortereket. Ezzel az analógiával azt lehet mondani, hogy egy 5 dimenziós polinomtérben vagyunk. Ennek a térnek a bázisát alkotó bázisfüggvények az x különböző hatványai: {x^0, x^1, x^2, x^3, x^4}. Ekkor pedig a tér egy általános elemét előállíthatjuk a bázisvektorok lineáris kombinációjával, tehát megszorozzuk valami konstanssal és összeadjuk őket. Ezért van az, hogy az x^4 próbafüggvényében általánosan az összes kisebb rendű tag is benne van, mert így lehet általánosan előállítani.

Ugyanez a helyzet, amikor trigonometrikus függvényekről van szó. A trigonometrikus függvények terében két bázisfüggvény van, a szinusz és a koszinusz. Ergo ha egy trigonometrikus tag van az inhomogenitást okozó tagok között, akkor azt általánosan felírni a két bázisfüggvény lineáris kombinációjával lehet, tehát A*sin(x) + B*cos(x). Mivel így tudod előállítani a trigonometrikus tér (ez eléggé furcsán hangzik így leírva) egy általános elemét.

Ha e-ados tag okoz inhomogenitást, pl.: e^x, akkor a próbafüggvény a fentiek végett A*e^x lesz.

Ami még fontos, hogy az argumentumot mindig meg kell tartani. Tehát ha az inhomogenitást okozó tag pl cos(3/2x), akkor a próbafüggvény nem A*sin(x) + B*cos(x), hanem A*sin(3/2x) + B*cos(3/2x). Vagy ha inhomogenitást okozó tag e^zx, akkor a próbafüggvény nem A*e^x, hanem A*e^{zx}. Rezonancia is lehet ilyen egyenletekben, nem tudom azzal kapcsolatban van-e kérdésed, ha igen szólj és leírom.

A kérdésedre is válaszolva:

Első kettő jó, harmadik nem jó. Most a szorzás kicsit bezavar, de szerintem itt is a fentieket kell követni:

x*sin(x) --> (A*x+B)*(C*sin(x)+D*cos(x))

Erre viszont nem tenném a nyakamat, de így logikus.

Az utolsó se jó szerintem, a fenti logika alapján:

cos^2(x)=cos(x)*cos(x) --> (A*sin(x)+B*cos(x))*(C*sin(x)+D*cos(x))

De ebben sem vagyok biztos.

Majd utánanézek ennek én is még ma, mert most már zavar, hogy nem vagyok benne biztos, aztán még írok.

Megmondom őszintén nem értem azt az egyenletet, amit a képen felírtál, amiben benne van az S_n(x) és R_n(x).

Ez valamilyen általános formula akarna lenne próbafüggvényre, amit mindig az adott esethez kell specifikálni? Ha igen, akkor mi akar lenne az S és R függvény? Végeredményben a képen is az a próbafüggvény jött ki, mint amit írtam, szóval jónak kell lennie. Írtad korábban, hogy a megoldás a tanárnak nem az lett, mint nekem, majd átszámolom még egyszer csak most időszűkében vagyok.

Rezonanciáról akkor beszélünk, ha az inhomogén egyenlet homogén egyenletének megoldása olyan alakú, mint amilyen próbafüggvény felírsz az inhomogén egyenlet partikuláris megoldására (vagy legalábbis a próbafüggvény egyik tagja olyan alakú). Ekkor nem tudod megoldani a diffegyenletet. Ilyenkor azt szoktuk csinálni, hogy a rezonanciát okozó tagot megszorozzuk még a változóval és az lesz a próbafüggvény. Találtam egy példát rá:

Van egy ilyen differenciálegyenlet:

y'-2y=e^{2x}+x

Homogén: y'-2y=0

Megoldása karakterisztikus polinomokkal (y=e^{rx}):

e^{rx} * (r-2) = 0 ==> r=2

y(x)=A*e^{2x}

Inhomogenitást okozó tag: e^{2x}+x

Inhomogén egyenlet megoldásához a próbafüggvény: y(x)=B*e^{2x}+C*x+D

Ha most megnézed a homogén egyenlet általános megoldását és a próbafüggvényt, akkor látod, hogy van mindkettőben e^{2x}, emiatt nem lesz megoldásod, próbáld ki, hogy ezzel a próbafüggvénnyel végigszámolod. A végén nem tudod megoldani az együtthatókra felírt egyenletrendszert. Szóval ezt tudván, hogy elkerüljük a rezonanciát beszorzunk x-el a rezonáló tagba, így a próbafüggvény:

y(x)=B*x*e^{2x}+C*x+D

Tegyük vissza a diffegyenletbe:

B*e^{2x}+2*B*x*e^{2x} + C - 2*B*x*e^{2x} - 2*C*x - 2*D= e^{2x}+x

Itt kiesnek az x*e^{2x}-es tagok, ezért kellett beszorozni, hogy a parciális deriválás végett legyen elég egyenletünk az együtthatók kiszámolásához.

Gyűjtsük ki az együtthatókat:

e^{2x}: B=1

x: -2C=1

konstans: C-2D=0

Ezekből: C=-1/2; D=-1/4; B=1, így az inhomogén egyenlet partikuláris megoldása:

y_p(x)=x*e^{2x}-1/2*x-1/4, ezzel pedig a diffegyenlet általános megoldása:

y_á(x)=A*e^{2x}+x*e^{2x}-1/2*x-1/4

Remélem sikerült érthetően leírni. A kérdésedben szereplő egyenletnél a homogén egyenlet megoldása e-ados tagokból áll, a próbafüggvény meg polinomokból és trigonometrikus függvényekből áll, így ez most nem zavar be ott. Egyébként meg ugye a rezonanciás dolgot úgy is észreveszed, ha nem figyelsz oda rá, mert nem lesz megoldásod.