Melyik azonosság szerint integrálom a következőt? integrál (x/ (gyök (aˇ2-xˇ2) ) dx

Úgy, ahogy az első írta. Lát benne az ember x²-et is valamint x-et is, ebből gyanítja, hogy egy kifejezés valamely függvényének és a kifejezés deriváltjának a szorzata lehet talán. A kifejezés az a²-x², úgyhogy a derivált nem pontosan x, de a konstans szorzókat könnyű bevinni. A függvény pedig a -1/2-edik hatvány.

Az első nem pont ezeket az elnevezéseket használta: nálam kifejezés az, ami nála a függvény, és nálam függvény az, ami nála az n-edik hatvány. Valójában mindketten az összetett függvényre utalunk: f(g)' = f '·g', és ez visszafelé ∫ f '·g' = f(g)

Ha nem ugrik be kapásból, hogy hol az f és a g függvény, akkor formálisan ezt helyettesítéssel lehet csinálni:

u = a²-x²

du/dx = -2x → x·dx = -1/2·du

∫ x / √(a²-x²) dx = ∫ 1 / √(a²-x²) · x dx = ∫ 1/√u · (-1/2) du = -1/2 · ∫ u^(-1/2) du stb.