Kezdőoldal » Tudományok » Természettudományok » Meg lehet becsülni a sorozat...

Meg lehet becsülni a sorozat sokadik elemét?

Figyelt kérdés

a(1)=2 ; a(n+1)=a(n)+Pi(a(n)) ; Pi(x) az x+1 -nél kisebb prímek száma

A sorozat első néhány eleme: 2,3,5,8,12,17,24,33,44,...

Kb. mennyi lehet a sorozat 10000. ill. 100000. eleme?



2015. dec. 4. 23:46
 1/3 anonim ***** válasza:

Pi(x) - re ismerünk egy becslést: x/ln(x), lásd [link]


Így a sorozatod alakja:


a(x+1) = a(x) + a(x)/ln(a(x))


Ezt innetől folytonos függvényként kezeljük. A meredeksége x-ben a sorozat növekménye, azaz a(x)/ln(a(x)). Tehát:


da/dx = a/ln(a)


Integrálni fogunk, tehát szorzunk dx-szel és osztunk a jobb oldallal:


ln(a)/a da = 1 dx


Integráljuk a két oldalt:


ln(a)^2 / 2 = x + c


Kifejtjük a-ra:


a = e^gyök(2x + 2c). A tetszőleges c konstanst a kezdeti értékek segítségével be kell lőni valami értelmes értékre.


A lényeg, hogy a sorozat közelített alakja:


a(n) = e^gyök(2x + konstans)

2015. dec. 5. 10:47
Hasznos számodra ez a válasz?
 2/3 anonim ***** válasza:

Hopp, az x-et a végén elfelejtettem visszaváltani n-re:


a(n) = e^gyök(2n + konstans)

2015. dec. 5. 10:53
Hasznos számodra ez a válasz?
 3/3 A kérdező kommentje:

Köszönöm!

Az a(n) = e^(gyök(2n) + c) tényleg jó nagy n-ekre c ≈ 0.5 értékkel.

Kis n-ek esetén viszont c ≈ -0.1, 0, 0.1 ... értékek jönnek ki, tehát nehéz következtetni.

Szerintem azért(?), mert az x/ln(x) elég gyenge közelítés, pl. az x/(ln(x)-1) sokkal jobb. Ld. a linkeden.

Pl.: x=1000: Pi(x)=168, x/ln(x)≈145, x/(ln(x)-1)≈169

2015. dec. 6. 11:02

Kapcsolódó kérdések:




Minden jog fenntartva © 2024, www.gyakorikerdesek.hu
GYIK | Szabályzat | Jogi nyilatkozat | Adatvédelem | Cookie beállítások | WebMinute Kft. | Facebook | Kapcsolat: info(kukac)gyakorikerdesek.hu

A weboldalon megjelenő anyagok nem minősülnek szerkesztői tartalomnak, előzetes ellenőrzésen nem esnek át, az üzemeltető véleményét nem tükrözik.
Ha kifogással szeretne élni valamely tartalommal kapcsolatban, kérjük jelezze e-mailes elérhetőségünkön!

Adataid védelme fontos számunkra!

Mint a weboldalak többsége az interneten, honlapunk működéséhez és célzott hirdetések megjelenítéséhez mi és hirdetési partnereink is cookie-kat tárolunk az általad használt eszközön. Ahhoz, hogy ezt megtehessük, a hozzájárulásod szükséges. Erről az adatvédelmi tájékoztatónkban részletes információkhoz juthatsz, illetve bizonyos cookie-k használatával kapcsolatban további lehetőségeid vannak.