Meg lehet becsülni a sorozat sokadik elemét?

Pi(x) - re ismerünk egy becslést: x/ln(x), lásd [link]

Így a sorozatod alakja:

a(x+1) = a(x) + a(x)/ln(a(x))

Ezt innetől folytonos függvényként kezeljük. A meredeksége x-ben a sorozat növekménye, azaz a(x)/ln(a(x)). Tehát:

da/dx = a/ln(a)

Integrálni fogunk, tehát szorzunk dx-szel és osztunk a jobb oldallal:

ln(a)/a da = 1 dx

Integráljuk a két oldalt:

ln(a)^2 / 2 = x + c

Kifejtjük a-ra:

a = e^gyök(2x + 2c). A tetszőleges c konstanst a kezdeti értékek segítségével be kell lőni valami értelmes értékre.

A lényeg, hogy a sorozat közelített alakja:

a(n) = e^gyök(2x + konstans)

Hopp, az x-et a végén elfelejtettem visszaváltani n-re:

a(n) = e^gyök(2n + konstans)