Meg lehet becsülni a sorozat sokadik elemét?
a(1)=2 ; a(n+1)=a(n)+Pi(a(n)) ; Pi(x) az x+1 -nél kisebb prímek száma
A sorozat első néhány eleme: 2,3,5,8,12,17,24,33,44,...
Kb. mennyi lehet a sorozat 10000. ill. 100000. eleme?
Pi(x) - re ismerünk egy becslést: x/ln(x), lásd [link]
Így a sorozatod alakja:
a(x+1) = a(x) + a(x)/ln(a(x))
Ezt innetől folytonos függvényként kezeljük. A meredeksége x-ben a sorozat növekménye, azaz a(x)/ln(a(x)). Tehát:
da/dx = a/ln(a)
Integrálni fogunk, tehát szorzunk dx-szel és osztunk a jobb oldallal:
ln(a)/a da = 1 dx
Integráljuk a két oldalt:
ln(a)^2 / 2 = x + c
Kifejtjük a-ra:
a = e^gyök(2x + 2c). A tetszőleges c konstanst a kezdeti értékek segítségével be kell lőni valami értelmes értékre.
A lényeg, hogy a sorozat közelített alakja:
a(n) = e^gyök(2x + konstans)
Hopp, az x-et a végén elfelejtettem visszaváltani n-re:
a(n) = e^gyök(2n + konstans)
Köszönöm!
Az a(n) = e^(gyök(2n) + c) tényleg jó nagy n-ekre c ≈ 0.5 értékkel.
Kis n-ek esetén viszont c ≈ -0.1, 0, 0.1 ... értékek jönnek ki, tehát nehéz következtetni.
Szerintem azért(?), mert az x/ln(x) elég gyenge közelítés, pl. az x/(ln(x)-1) sokkal jobb. Ld. a linkeden.
Pl.: x=1000: Pi(x)=168, x/ln(x)≈145, x/(ln(x)-1)≈169
Kapcsolódó kérdések:
Minden jog fenntartva © 2024, www.gyakorikerdesek.hu
GYIK | Szabályzat | Jogi nyilatkozat | Adatvédelem | Cookie beállítások | WebMinute Kft. | Facebook | Kapcsolat: info(kukac)gyakorikerdesek.hu
Ha kifogással szeretne élni valamely tartalommal kapcsolatban, kérjük jelezze e-mailes elérhetőségünkön!