Miért van a fizika tele olyan képletekkel, hogy "1/2*x*y^2"? Miért van ez? Ugye nem véletlen?

Nem véletlen. Az integrálás miatt.

∫ a·x dx = 1/2·a·x²

Vagyis ha valamilyen fizikai mennyiség lineárisan függ egy másiktól (a·x), akkor az integrálja négyzetes lesz 1/2-del szorozva.

Általános iskolás szinten pedig: Azért, mert ha egy derékszögű háromszög egyik befogója x, a másik pedig a·x, akkor a területe 1/2·a·x²

Utolsónál van a pont. Az energiaképletek tipikusan ilyenek, pl. villamosságtanban is:

Tekercs-energiája: (1/2)L*I^2,

Kondenzátor energiája: (1/2)C*U^2.

Az integrálás az oka, meg a lineáris kapcsolat.

A valóságban persze sokszor nincs linearitás. Pl. egy rugó megnyúlása és a megnyújtóerő kapcsolata csak az egyensúlyi helyzetnek egy bizonyos környezetében tekinthető lineárisnak. Ha kívül vagyunk ezen az úgynevezett lineáris tartományon, akkor ezek a képletek már rosszak.

Azt is mondhatjuk persze, hogy legyen pl. a rugalmas erő és az elmozdulás kapcsolata valamely F(x) függvénykapcsolattal adva. F(x) általános esetben nem lineáris. Fejtsük viszont Taylor-sorba az egyensúlyi helyzet körül:

F(x)=F(x0)+F'(x0)*(x-x0)+F"(x0)*(x-x0)^2/2+...+F(n)(x0)*(x-x0)^n/n!, vagyis

gyakorlatilag ha elhanyagoljuk a nemlineáris tagokat, akkor ebből tényleg adódnak a tipikus 1/2-es képletek, hiszen F' épp egy meredekséget jelöl.