Válhat-e a következő S (x, y, z) háromváltozós függvény szimmetrikussá?

Az f (x, y, z) := 2·x^2·y^2 + x^2 + y^2 - z^2 függvényhez található-e olyan g (x, y) kétváltozós függvény, hogy S (x, y, z) :=g (x, y) ^2-f (x, y, z) ^2 háromváltozós függvény szimmetrikus legyen? Vagyis teljesüljön az S (x, y, z) =S (y, z, , x) azonosság.

A Cayley-Klein geometriai rendszer trigonometriái szolgálnak alapot a példákra. Legtriviálisabb az iskolai geometria koszinusztétele, ahol f(x, y, z) := x^2 + y^2 - z^2 és g(x,y):=2xy. Ekkor S(x,y,z):=g^2-f^2 szimmetrikus lesz a Héron formulában szereplő kifejezés miatt. A másik példa a gömbi geometriából való, ahol f(x,y,z):=cos(z)-cos(x)*cos(y) és g(x,y):=sin(x)*sin(y) és ekkor S(x,y,z):=g^2-f^2 szintén szimmetrikus.