Miért lehet ezt megcsinálni egy diffegyenletben?
Pl, arra lennék kíváncsi hogy mondjuk egy szeparábilis diffegyenletnél, egy oldalra rendezzük az x-es illetve y-os tagokat. (y(x))
Ez után az lenne logikus, hogy mindkét oldalt integrálom x- szerint, addig amíg el nem tűnik az y-os oldalról a derivált.
Ezt szerintem nem mindig lehet kitalálni, az y-os oldalon mert ugye y egy ismeretlen függvény.
Úgy tanították hogy y'-at felírjuk dy/dx alakban, felszorzunk dx-el ez azt jelenti hogy az x-es oldal x szerint lesz majd integrálva.
Ellenben az y-os oldalon lesz egy dy, ami önmagában szerintem értelmezhetetlen tehát lényegében a dy egy végtelen kicsi delta. Mindezek után ezt a végtelen kicsi deltát ugy tekintjük mint az integrálásnál a jelölést hogy mi szerint integrálunk... és lényegében y szerint integráluk az y-os oldalt, és így kijön az eredmény.
Biztos hogy ez helyes módszer különben nem tanítanák, de a előadó nem tért ki arra hogy ezt miért lehet megcsinálni. (azt mondta ezt most fogadjuk el)
Esetleg valaki tudna valami magyarázatot/bizonyítást mondani?
Köszönöm a segítséget.
válasza: válasza:A bizonyítást én se tudom, de a wikipédián ott van:
Ez nem annak a bizonyítása, hogy át lehet szorozni a dx-szel, hanem a diffegyenlet megoldásának a bizonyítása.
Azt viszont meg lehet "érezni", hogy a formális megoldás a dx-szel való átszorzással jó lehet. Jól kezdted el, a dx is meg a dy is olyan, mint a Δx meg Δy, csak határértékben. Vagyis olyasmi az egyenletünk, hogy
A·Δy = B·Δx
Ha adott x-y értékeknél teljesül az egyenlet, akkor ezeket összeadva is teljesül, Az összeadást pedig szummázással írhatjuk fel:
Σ A ·Δy = Σ B·Δx
Ha pedig visszamegyünk határértékbe, akkor a szummából integrálás lesz (Az integrálás jele megnyújtott S betű, ami nem véletlen: a szummából jön)
∫ A dy = ∫ B dx
Ez persze csak magyarázgatás, nem bizonyítás.
válasza:Kedves Bongolo és Kérdező, mint említettem a bizonyítás helyettesítéses integrálással történik. Annyira nem bonyolult, inverzfv.-t kell helyettesíteni, meg az inverzfv. deriválási szabályát alkalmazni.
Ebből minden tökéletesen kijön.
A wikipédiát viszont hagyjuk, mert ott sok értelmetlen dolog van.
A kérdéshez az egzisztencia- és unicitásnak semmi köze.
Mellesleg megjegyzem, hogy az egzisztencia- és unicitástételek nem csak szeparábilis tipusokra igazak. Tetszőleges y'=f(x,y) egyenletekre kimondhatók. (Peano, Picard-Lindelöf).
Sőt egyenletrendszerekre is általánosíthatók, csak úgy bonyolultabb lesz az egész, be kell vezetni topológiai alapfogalmakat, stb... de ezt inkább hagyjuk.
Kapcsolódó kérdések:
Minden jog fenntartva © 2024, www.gyakorikerdesek.hu
GYIK | Szabályzat | Jogi nyilatkozat | Adatvédelem | Cookie beállítások | WebMinute Kft. | Facebook | Kapcsolat: info(kukac)gyakorikerdesek.hu
Ha kifogással szeretne élni valamely tartalommal kapcsolatban, kérjük jelezze e-mailes elérhetőségünkön!