Mi lehet az összeadás és szorzás között?

Az a gond, hogy kvázi akárhogy lehet definiálni ezt a bizonyos H(a;1,5;b)-t. Pl.:

1 ≤ n ≤ 2 esetén

H(a;n;b) := a * (n-1)*b + (2-n)*b

vagy

H(a;n;b) := (a+b+ab)/2

Ha nincsen egyéb elvárás, kritérium, akkor bármelyik megteszi. 1 ≤ n≤ 2, 1 ≤ a, 1 ≤ b esetén volt egy kikötésed, hogy

H(a;1;b) ≤ H(a;n;b) ≤ H(a;2;b)

De ez is tulajdonképpen légből kapott kikötés, miért kellene így lennie és miért pont ezeknél a feltételeknél?

Miért kellene H(a;n;b)-nek H(a;1;b) és H(a;2;b) közé esnie?

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

Mindenesetre amit elkezdtél pedzegetni itt az utolsó kommentekben, azt n>1 esetére tetted, pedig pont az n=0 illetve az n=1 az érdekes. Ugye pl. a különböző műveletekre vannak olyan esetek, mikor:

H(a;n;b) = a

H(a;1;0) = a

H(a;2;1) = a

H(a;3;1) = a

H(a;4;1) = a

H(a;1,5;b) esetén milyen b-re várjuk, hogy H(a;1,5;b) = a? Lineárisan interpolálódjon ez a bizonyos b? Vagy hogyan?

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

Szintén érdekes kérdés, hogy ha a szorzás az összeadás iterálja, akkor H(a;1,5;b) iterálja a H(a;2,5;b). Oké, de ezt hogyan kell értelmezni? Értelmezhető-e ez így egyáltalán?

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

Másik oldalról:

(∀a)(∀b) H(a;1;b) = H(b;1;a)

(∀a)(∀b) H(a;2;b) = H(b;2;a)

Viszont!

(∃a)(∃b) H(a;3;b) ≠ H(a;3;b)

(Pl.: 2³ ≠ 3²)

Magyarán az összeadás és a szorzás kommutatív és asszociatív, a hatványozás viszont nem az. Ha n∈ ℕ esetén élet határ van. Viszont ha n nem egész, akkor a határ valahol 2 ≤ n ≤ 3 körül van, de pontosan hol és miért pont ott?

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

Oké, pl. a hatványozásnál a kitevő is csak természetes szám lehet, ha a művelet eredeti, valós jelentését nézem. De a hatványozásnak vannak szigorú azonosságai, ami alapján triviális volt kiterjeszteni a hatványozás műveletének értelmezését negatív, racionális, illetve irracionális kitevőkre is. De itt ilyen azonosság nincs, sőt a műveletek tulajdonságai – n∈ ℕ, de főleg n={1,2,3} esetén – élesen különböznek egymástól.

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

Továbbra is tartom, hogy ennek a kérdésnek – ennyi feltétel, kritérium mellett – nincs értelmes válasza. Nem akarom azt mondani, hogy teljesen értelmetlen a kérdés, hogy ne lenne érdekes ezen elgondolkodni, de összességében mégis azt kell mondanom, hogy ebben a formában nincs értelme választ keresni rá. Értelmes választ keresni csak magától érthetődő egyéb kritériumok esetén lenne értelme, de ezeknek a feltételeknek tényleg triviálisnak kell lenniük. (Számomra az, hogy 1 ≤ n≤ 2 esetén igaznak kell lennie, hogy H(a;1;b) ≤ H(a;n;b) ≤ H(a;2;b) nem tűnik triviálisnak.)