Ez csak véletlen lenne?

A szám, aminek a faktoriálisa érdekel, kb. e*10^10.

Milyen matematikai kifejezéssel tudjuk megállapítani, hogy hány (tizedespont előtti) számjegyből áll egy szám? A tízes alapú logaritmusával: annak egészrésze + 1 a számjegyek száma. Azaz:

lg(27182818284!) = lg(1*2*3*4*...*27182818284) = lg(1) + lg(2) + lg(3) + ... + lg(27182818284)

Tehát ha összeadjuk az összes szám tízes alapú logaritmusát 1-től x-ig, akkor megkapjuk hogy hány számjegyből áll x faktoriálisa.

Na most ezt kézzel összeadni elég fárasztó lenne, de tehetünk egy egyszerűsítést: Nem összeadjuk ezeket a számokat, hanem integráljuk lg(x)-et 0-tól (vagy 1-től, minimális a különbség) 27182818284-ig.

Lehet, hogy elsőre abszurdnak hangzik, hogy szimpla összeadást integrálással "egyszerűsítünk", de jelen esetben vagy ez, vagy semmi. A kettő közötti különbség egyébként minimális: az egyik az lg(x) függvény alatti területe, a másik az lg(x) "lépcsős" változatának függvény alatti területe. A kettő között az első néhány, az óriási végeredmény tekintetében jelentéktelen tag után már szinte semmi különbség nincs.

A lényeg, hogy ezt az integrálást már simán bedobhatod Wolfram Alphába, megcsinálja neked:

[link]

...és megkapod, hogy e*10^11 az eredmény. Tehát valóban annyi jegye van, ahányat megállapítottál: tízszer annyi, mint amennyi a faktoriált szám maga. Persze számítógépes segítség nélkül se akkora probléma meggyőződni erről:

lg(x) integrálfüggvénye x(ln(x)-1)/ln(10) + c, ebbe x=e*10^10-et és nullát behelyettesítve, és a különbségüket kiszámítva kijön az e*10^11.

Úgyhogy egyáltalán nem véletlen, hogy annyi számjegyből áll, ahányból. Ez egy nagyon szép összefüggés.

Amúgy általánosan, ha játszol egy kicsit az integrállal, beláthatod, hogy bármely e*10^N! alakú (nyilván legközelebbi egészre kerekített) faktoriális számjegyeinek száma ~e*N*10^N.