Az euklideszi geometria hibás vagy hiányos vagy "tökéletes"?

Nem értem pontosan, mire gondolsz.

Az euklideszi axiómák ellentmondásmentesek, továbbá az Elemek c. mű bizonyításai következnek az axiómákból, ezt századokon át nézegették jó sokan. Ilyen értelemben "tökéletes".

Emellett van sok más axiómarendszer, ami nem euklideszi, ugyebár a Bolyai-féle is ilyen, és az is ellentmondásmentes, azaz "tökéletes".

Úgy egyébként milyen hibára, hiányosságra gondolsz?

Van a Gödel-féle tétel, ami nagyjából azt mondja, hogy nincs "teljes" axiómarendszer, vagyis minden axiómarendszerben van eldönthetetlen kérdés. Ilyen értelemben meg egyik sem "teljes", ha erre gondolsz.

Az megint más kérdés, hogy az általunk észlelt valódi teret melyik írja le teljesen. Talán egyik sem.

> „Van a Gödel-féle tétel, ami nagyjából azt mondja, hogy nincs "teljes" axiómarendszer, vagyis minden axiómarendszerben van eldönthetetlen kérdés. Ilyen értelemben meg egyik sem "teljes", ha erre gondolsz.”

Gödel nem-teljességi tételének van olyan feltétele, hogy az axióma rendszer (amiről a tétel állítást fogalmaz meg) legyen „elegendően erős”. Az euklideszi axiómarendszer nem ilyen. Tarskinak legalábbis sikerült úgy leírnia az euklideszi geometriát, hogy az abban megfogalmazott bármilyen állítás algoritmikusan eldönthető legyen.

Szóval röviden: az euklideszi geometria teljes.

[link]

[link]

Re:

Attól, hogy régóta van valami, még nem lesz elavult! :)

„Elavult” dolgok, ha már így felhoztátok őket, pont az Elemekből jutnak eszembe. Persze ezek nem úgy elavultak, hogy megszűntek igaznak lenni, csak a mai matematikában szeretnek rájuk „nyitottabban” gondolni. (Persze, ha valami azt kívánja, akkor egy cikkben nyilvánt lehet azt mondani, hogy valamitől „elzárkózunk”.)

Például Euklidész 23 definíciót, 5 posztulátumot és 9 axiómát sorol fel, viszont a mai matematikában a definíció, posztulátum és axióma közül bármelyik kimondható bármelyik másikként. Például az egyenesek párhuzamosságáról szóló posztulátumokat axiómaként vagy definícióként is ki lehet mondani. A másik, hogy ott Euklidész definiálja a pontot, aminek nincs hosszúsága, az egyenest, aminek nincs szélessége,… Ez egy geometria szerkezetéhez lényeges dolgot nem ad hozzá, viszont a szemléletünket beszűkíti valamilyen síkbeli dologra, ahol ábrák vannak, és ezt ugye nem szeressük. Például ha a projektív geometria leírásában az _összes_ „pont” szót „egyenesre” cseréljük, és az _összes_ „egyenes” szót „pontra”, akkor tökéletesen pontosan visszakapjuk a projektív geometriát. Vagy a véges geometriák „pontjaira” gondolhatunk egy tetszőleges halmaz elemeiként (akár az osztálytársaid halmaza is jó), az „egyeneseire” pedig úgy, mint egy hipergráf éleire, és nem kell a sík pontjainál maradnunk, akár az osztályodból is csinálhatunk egy geometriát. Szóval a mai matematikában azt mondjuk, hogy a pontot, egyenest,… nem definiáljuk.