Hány nullára végződik? 2^8*3^5*5^6*7^10

A szám: 274565942028000000

1db nullára végződik, de az utolsó 6 számjegye 0.

Azt kell megnézni, hogy hányszor osztható 10-zel (elvégre ahány 0-ra végződik, annyiszor osztható 10-zel). 10-zel meg csak akkor osztható, hogyha osztható 2-vel ÉS 5-tel. Tehát csak azt kell megnézni, hogy a szorzótényezőkből hány 2-est és 5-öst tudunk összepárosítani.

Látható, hogy 6 darab 5-ös van és 8 darab 2-es. Ezekből 6 darab 5-öst és 6 darab 2-est tudunk összeszorozni, ezzel 6 darab 10-est nyerünk, ami azt jelenti, hogy a szám 6-szor osztható 10-zel.

Tehát 6 darab 0-ra végződik.

Bónusz kérdés: 25! hány 0-ra végződik?

"Bónusz kérdés: 25! hány 0-ra végződik?"

Lássuk csak.

25! = 2*3*4*5*...*22*23*24*25

A 2-esnél: Minden páros számban megvan a kettő, tehát:

(2*4)*(6*8)*(10*12)*(14*16)*(18*20)*(22*24) = (2^3) * (2*3*2^3) * (2*5*2*2*3) * (2*7*2*2^3) * (2*9*2*2*5) * (2*11*2*2*2*3) = (2^3) * (3*2^4) * (5*3*2^3) * (7*2^5) * (9*5*2^3) * (11*3*2^4) = 2^22 * (3*5*3*7*9*5*11*3) = 2^22 * 5^2 * (7*11*3^5)

Az 5-ösnél:

5*10*15*20*25 = 5*(2*5)*(3*5)*(4*5)*(5*5) = 3 * (2^3) * (5^6)

Tehát van 22 + 3 = 25 db 2-esünk, és van 6 + 2 = 8 db 5-ösünk. Tehát 8 db 0-ra végződik.

A 3. válaszoló egy kicsit eltájolódott, mivel a 10-ben és a 20-ban szereplő 5-öst kétszer is megszámolta.

Mint ahogy mondtad is, minden páros számban van legalább 1 darab 2-es, így 25-ig legalább 12 darab 2-es szorzó van (ha kell több, majd behatóbban utánanézünk). Az 5-ös szorzó az 5;10;15;20;25 számokban található meg, a 25-ben 2 is van, tehát összesen 6 5-ös szorzó van. 6 darab 2-es meg van, szóval 6-szor tudunk 10-es szorzót konstruálni, tehát tényleg csak 6 darab 0-ra végződik a szám.

(A faktoriális alakú számoknál mindig csak az 5-ösök száma a lényeges, elvégre legalább kétszer annyi 2-es szorzó van, mint 5-ös. Ennél a feladatnál az lehetett volna a buktató (alapesetben), hogy megnézzük, hogy hány 5-tel osztható szám van, de nem vesszük figyelembe, hogy a 25-ben 5*5 van; Ha például 100!-t vizsgálnánk, akkor az 50-ben, a 75-ben és a 100-ban is két 5-ös lenne, tehát 100! 25 helyett 25+3=28 darab 0-ra végződne.)

(Ugyan a feladat a kérdezőnek szólt, de legalább kiderült, hogy más is gondot okozhat, így jó, hogy tudott mindenki tanulni.)