Jó a bizonyítás?

Bazonyítsuk be, hogy ha A egy tetszőleges, nem üres halmaz és H legalább kételemű, tetszőleges, akkor az A halmaznak az A halmaz H-ba való függvényhalmazába történő leképzései között van injektív, de nincs szürjektív.

Tehát röviden a

r: A->H^A relációk között kell lennie injektív leképzésnek, de szürjektív nincs.

Először bebizonyítjuk, hogy van injektív.

Vegyük azt, hogy mennyi |H^A|

Definíció alapján az A-ból H-ba rendelő relációk az A×H halmaznak bármely részhalmaza.

Következésképpen |H^A|=2^|A×H|

Ez nyilván nagyobb, mint |A|, tehát van injektív leképzés.

S mivel |H^A|>|A|, nem létezhet közöttük szürjektív leképzés.