A matematika minden kérdésre választ tud adni?

Bontsuk két részre a problémát:

Gyakorlat:

Pl. az #1 által leírt kérdésre elméletileg akár lehetne is választ találni. De ehhez ismerni kell egy nagyon bonyolult rendszer – az adott ember, aki főz, illetve az őt körülvevő világ – minden részletét, minden paraméterét. Ha ez megvan, megvan a teljes állapot és annak minden összefüggése, akkor a kérdés „könnyen” megválaszolható matematikai problémaként megfogalmazva. A gond az, hogy nem lehet megismerni minden paraméterét egy komplex rendszernek, már csak azért sem, mert maga a mérés megváltoztatja a rendszert magát. Pl. ahhoz, hogy tökéletesen egzakt időjárás előrejelzést adjunk, ahhoz ismerni kellene pl. a légkör !!!minden!!! pontjában az aktuális légnyomást, szélsebességet. Ezt csak úgy lehetne megmérni, hogy minden pontban elhelyezünk egy mérőműszert. Ekkor viszont a légkörben nem lenne levegő, csak mérőműszerek, így a szélsebesség biztosan nullának adódna. :-)

Elmélet:

A XX. századi – meg úgy minden idők – legmeglepőbb és egyben leginkább demotiváló matematikai eredménye az, hogy elméletileg sem lehet minden kérdést megválaszolni. Minden valamire való matematikai axiómarendszertől elvárjuk, hogy ellentmondásmentes legyen. Ha egy ellentmondás létezik a rendszerben, azaz egy állításról egyszerre bizonyítható az is, hogy igaz, és az is hogy hamis, akkor ebből kiindulva minden és mindennek az ellenkezője is bebizonyítható. Pl. ha igaz az az összefüggés, hogy ha egy alma piros, akkor megeszem, és az almáról bizonyítható az is, hogy piros, és az is, hogy nem piros, akkor bizonyítható az is, hogy megeszem, és az is, hogy nem.

Gödel első nemteljességi tétele alapján viszont bármilyen valamire való axiómarendszer esetén – ami magában foglalja a természetes számok axiómarendszerét – igazolható, hogy ha a rendszer ellentmondásmentes, akkor megfogalmazható egy olyan állítás, ami sem nem bizonyítható, sem nem cáfolható. Ha egy ilyen axiómarendszerben minden állítás vagy bizonyítható, vagy cáfolható, akkor szükségszerűen tartalmaz ellentmondást. (Amit mint láttunk, nem engedhetünk meg.)

Ez azért elég súlyos eredmény, ha jól belegondolsz. Gödel tételéig alapvetően mindenki azt gondolta, hogy ha van egy matematikai probléma, akkor csak keményen kell dolgozni rajta, előbb-utóbb megtalálható hozzá egy megoldás. Mondjuk ott a Goldbach-sejtés. Elég egyszerű a sejtés: Minden 2-nél nagyobb páros szám felírható két prímszám összegeként. Gödel eredményéig mindenki azt gondolta, hogy előbb-utóbb majd születik erre a sejtésre egy bizonyítás. Gödel tételének ismeretében viszont lehet, hogy nincs bizonyítása a dolognak, hogy soha nem fogjuk tudni bizonyítani, vagy cáfolni ezt a sejtést.

Semmi gond – mondhatnánk –, szépen kiválogatjuk azokat a kérdéseket, amelyek gödeli kérdések, lenyeljük, hogy bizony vannak kérdések, amire nincsenek matematikailag egzakt válaszok, és minden rendben. Csakhogy egy kérdésről nem dönthető el feltétlenül, hogy gödeli kérdés-e. Lehetséges, hogy a „A Goldbach sejtés nem bizonyítható és nem cáfolható” mondat állítása is magában gödeli, tehát nem lehet igazolni azt, hogy vajon a sejtés állítása gödeli-e vagy sem.

Gondolj bele: Lehet, hogy az egész életedet egy olyan kérdés megválaszolására tetted fel, amire lehet nincs is válasz… Súlyos…

Sőt tetézi még a problémát Gödel második tétele, mely szerint egy axiómarendszerről nem dönthető el a saját axiómarendszerében, hogy ellentmondásmentes-e vagy sem.

De azért a matematika kiheverte ezt a problémát, mert lehet, hogy vannak gödeli állítások, de ennek ellenére még mindig van rengeteg olyan állítás, ami bizonyítható, vagy éppen cáfolható, tehát a matematika eredményeit lehet továbbra is szaporítani, lehet új összefüggéseket találni, új felismeréseket tenni. Csak annyi van, hogy innen jóval bizonytalanabb, hogy egy adott kérdéssel foglalkozva juthatsz-e egyáltalán eredményre.

> És ha az adott eredeti axiómarendszert kibővítjük, akkor sem lesznek bizonyítható/eldönhető az eredeti axiómarendszer minden állítása?

Akkor egy új axiómarendszert kapunk, amire ugyanúgy érvényes Gödel tétele. Lehet, hogy néhány, a régi rendszerben gödeli – állítás bizonyíthatóvá válik, de ezzel keletkezik is egy raklap eldönthetetlen állítás. Egy kicsit olyan ez, mint mikor eltűnik 2 kg vaj a kamrából, a gazdasszony a macskára gyanakodva leméri azt, az pont két kilós, mire ezt mondja: „Rendben, megvan a vaj, de hol a macska?”

> De ha a kiegészítés nem lehetséges, akkor a matematika véges?

Ez megint jó kérdés. Gyakorlati oldalról persze véges, lesz egy csomó kérdés, amit nem fogunk feltenni, de elvileg végtelen számú állítás létrehozható. Persze mivel a gyakorlatban nem szoktunk végtelen számú szót tartalmazó mondatot megfogalmazni, gyakorlati oldalról tekinthető végesnek a matematika.

A matematika mennyiségekkel és struktúrákkal foglalkozik. Megvan a maga működési területe: Ennyi. Valaki túlhájpolta neked, ha azt állította, hogy minden benne van.

Az, hogy "minden" leírható rajta, nem mond semmit, csak hogy a matematika egy "nyelv". Egy szimbólunokat használó szabályrendszer.

Figyelj, mondok egy példát. Azt mondod:

"elefánt"

Ez 7 db szimbólum egymás után (az első ismétlődik is), ami leír egy fogalmat. Matematika? Nem. Nyelv.

Akkor azt mondom:

4L+2F+O=E=7

Egy elefántnak van két füle, 4 lába meg egy ormánya.

Matematika? Igen.

De ugyanúgy foglalkozhattam volna az elefánt hosszával, stb.

A fenti kettő mind az emberi gondolkodás, plusz az írás (gondolatok papírra vethető szimbólumokká alakítása) valamilyen formában. Ebből ha mennyiségekről, struktúrákról van szó, azt úgy hívjuk, matematika. Más megközelítést (más tudományt meg művészetet) meg máshogy.

Nem írható le minden gondolat a matematika nyelvén. A matematikai jellegű gondolat írható le a matematika nyelvén.