Ellenőrizzük, hogy a komplex számok körében érvényes a |z + w|^2 + |z − w|^2 = 2 (|z|^2 + |w|^2) azonosság. Mi ennek a geometriai jelentése?

Az ellenőrzéshez meg azt kell tudni, hogy egy x = a + b*i komplex számra

|x|^2 = x*conj(x) = (a + b*i)*(a – b*i) = a^2 + b^2.

(Vagy e közül a 6 egyenlőség közül valamelyiket… Amelyikkel kényelmes. De mindegy, mert máshoz meg egy másik egyenlőség jó.)

Az ide vágó bizonyítást lásd a Wikipédia német (Deutsch) oldalán a "Anwendung für komplexe Zahlen" fejezet alatt.

Sz. Gy.

Nehogy már ezt olyan nehéz legyen kiszámolni, hogy a német Wiki kell hozzá… Ha z = a + b*i és w = c + d*i, akkor

|z + w|^2 + |z – w|^2 = |a + c + (b + d)*i|^2 + |a – c + (b – d)*i|^2 = (a + c)^2 + (b + d)^2 + (a – c)^2 + (b – d)^2 = a^2 + 2*a*c + c^2 + b^2 + 2*b*d + d^2 + a^2 – 2*a*c + c^2 + b^2 – 2*b*d + d^2 = 2*(a^2 + b^2 + c^2 + d^2) = 2*(|a + b*i|^2 + |c + d*i|)^2 = 2*(|z|^2 + |w|^2).

És azt hiszem, túlrészleteztem.