A sin (x) -cos (x) >=-győk2 egyenletet miért nem lehet négyzetre emelni az egyenlet igazolásakor?

Kezdjük egy egyszerűvel:

Ha x > -2, az nem jelenti, hogy x^2 > 4. (Pl. x= -1, 0, 1)

Egyenlet mindkét oldalát négyzetre emelve sok hamis gyök fellép(het). Ez ráadásul egyenlőtlenség. A rajzon látod, hogy van igazság is abban amit csináltál:

[link]

A grafikonból könnyű leolvasni az eredményt.

Nekem az a módszer jó, hogy grafikusan megnézem:

https://www.youtube.com/watch?v=oqP_oIKNuvU

Ha egyenletről van szó, akkor is vigyázni kell a négyzetre emeléssel. Nézd pl. ezt:

-1 = 1

ami persze nem igaz. Ha viszont négyzetre emeled, máris igaz lesz. Vagyis bejött egy hamis gyök.

Egyenlőtlenségnél még több gond van:

-2 > 1

ami persze hamis. De ha négyzetre emeled, úgy tűnik, mintha igaz lenne.

Valójában itt a négyzetre emeléskor a bal oldalt -2-vel szorzod be, ami negatív, ezért az egyenlőtlenség iránya megváltozik. A jobb oldalt +1-gyel szorzod be, attól nem változik meg az irány. Tehát ez lesz:

(-2)·(-2) < 1·1

4 < 1

amivel már nincs semmi baj olyan értelemben, hogy ugyanúgy nem igaz, mint az eredeti egyenlőtlenség.

Az adott feladatban a jobb oldalon negatív szám van, tehát négyzetre emeléskor megfordul az irány. Viszont a bal oldalról nem tudjuk, hogy pozitív vagy negatív! Ezért nem tudjuk, hogyan kell a kisebb-nagyobb jelnek állnia.

Ha mindenféleképpen négyzetre akarsz emelni, akkor először ki kell kötni, hogy a bal oldal a) pozitív b) negatív, és meg kell oldani mind a két esetet.

Megcsinálom, de előre figyelmeztetlek, hogy hosszú lesz.

sinx - cosx ≥ -√2

a) sinx - cosx ≥ 0

vagyis ha

  sinx ≥ cosx

  a1) cosx ≠ 0, oszthatunk vele

        tg x ≥ 1

        π/4 + kπ ≤ x < π/2 + kπ

  a2) cosx = 0 esetén (vagyis x = π/2 + kπ)

        ekkor sinx = 1 vagy -1

        x = π/2 + 2kπ esetén lesz sinx ≥ cosx

Ezeknél az x-eknél az eredeti egyenlet bal oldala pozitív, a jobb oldala negatív, ezért az egyenlőtlenség mindig igaz lesz, nem is kell négyzetre emelni.

b) sinx - cosx < 0

Ez a "maradék" x-ekre teljesül.

Ekkor mindkét oldal negatív, szorozzunk be -1-gyel:

cosx - sinx ≤ √2

most már mindkét oldal pozitív, négyzetre emelhetünk, nem jön be hamis gyök.

cos²x - 2sinxcosx + sin²x ≤ 2

stb.

kijön, hogy azonosság (ahogy csináltad, csak fordított egyenlőtlenséggel)

Vagyis a "maradék" x-ekre is mindre teljesül az egyenlőtlenség.

Az a) és b) eseteket egybevéve kijött, hogy minden x-re teljesül az egyenlőtlenség.

Kész.

---

Van rövidebb megoldás is, de az már más kérdés...

Egyenletnél, egyenlőtlenségnél vannak rendezési lépések, melyek megoldások elvesztésével járhatnak, ami jóvátehetetlen. (Pl. gyökvonás, x-es kifejezéssel való osztás, stb.)

Vannak lépések, melyek révén hamis megoldások léphetnek fel (akár végtelen sok), melyeket utólag valahogyan ki kell szűrni, ami sokszor nem könnyű. (Pl. négyzetre emelés, x-es kifejezéssel való szorzás, stb.)

Legjobb, ha azonos átalakításokkal, vagyis a megoldáshalmazt változatlanul hagyó lépésekkel rendezük, de ez sajnos nem mindig járható út. (Pl. nemnulla számmal való szorzás,osztás, köbre emelés, stb.)

Az itteni egyenlőtlenség viszont egyszerű azonos átalakításokkal bizonyítható általánosabban is:

-gyök(2) =< sin(x) - cos(x) =< gyök(2)

ugyanúgy volna levezethető ez is: -gyök(2) =< sin(x) + cos(x) =< gyök(2)

[link]