Erre valami ötlet?

Lehet, hogy segít, ha inkább ezzel az egyenlőtlenséggel próbálkozol:

lg(5 – x^2) + lg(1 + cos(x)) < 1.

Illetve: mi lehet a tagok legnagyobb értéke?

(Ha nem ötlet kell, hanem a megoldás, akkor azt is leírhatom.)

ki kell kötni, hogy lg(b) b>0

lg(a*b)=lg(a)+lg(b)

lg([5-x^2]*[1+cosx])=1

1=lg10

(5-x^2)*(1+cosx)=10

5+5cosx-x^2-cos^2(x)=10

tovább nem tudom

13:38, valamit elszámoltál, amit leírtál már nem ekvivalens az eredeti egyenlettel.

Amúgy annyi a lényeg, hogy a logaritmus szigorúan monoton növekvő függvény, tehát ha 5 – x^2 maximuma 0-ban van, akkor az lg(5 – x^2)-é is, és az lg(5). lg(1 + cos x) maximuma 2*π*n-ben van, és ez lg(2). Ha mind a két tag pont maximális a baloldalon, akkor lg(5) + lg(2) = lg(5*2) = lg(10) = 1, tehát az egyenlőség pont teljesül. Mivel az első tag csak x = 0-ban maximális, ezért csak ez lehet megoldás, és mivel itt a második tag is maximális, ez megoldás is.

(Amúgy azt rontottad el, hogy az

(5 – x^2)*(1 + cos x)-ben nem lesz (cos x)^2-es tag, csak x^2*cos x-es. Tehát

5*cos x – x^2 – x^2*cos x = 5,

és akkor itt kell megvizsgálni, hogy a baloldal csak és kizárólag 0-ban maximális, és ott pont 5.)