Speciális Fibonacci szám megtalálása? Ötlet?

Biztos hogy van ilyen, miért ne lenne?

A 83. 2, az 1107. 3, az 54981. 4 kilencessel kezdődik...

Az 52. 2, az 1498. 3, a 29998. 4 kilencessel végződik...

A 746998. pedig 3 kilencessel kezdődik és végződik.

A 292904998. 4 db kilencessel kezdődik és végződik.

A 6686399998. 5 db kilencessel kezdődik és végződik!

Először a végződést:

3 db kilencesre végződik, ha n=1500*k-2

4 db kilencesre végződik, ha n=15000*k-2

5 db kilencesre végződik, ha n=150000*k-2, stb.

Nem volt nehéz megtalálni, hiszen csak az utolsó 3-4-5 számjeggyel kellett számolni, azaz mod 1000,10000,100000.

Az eleje (a 3-ast írom le, 4-5 ugyanígy):

csak az n=1498+k*1500-akat vizsgálom, hogy '999'-cel kezdődik-e, azaz a logaritmusának törtrésze nagyobb-e

mint lg(9,99)=0,99956548822598230869

Ar=1/2 + (√5)/2

F(n)~ Ar^n/√5 ; nem teljesen, de nagyon-nagyon pontosan

x=frac(1498*lg(Ar)-lg(5)/2) = 0,714000092300133783976

y=frac(1500*lg(Ar)) = 0,481460374968100653908

Azaz, a probléma redukálódott:

frac(0,714000092300133783976 + k*0,481460374968100653908) > 0,99956548822598230869 ?

Ez k=497-re (2250,4003,...)teljesül, tehát n=1498+497*1500= 746998 esetén 999-re végződik és kezdődik.

Ugyanígy, más konstansokkal:

9999: k=19526

99999: k=44575

999999: k=1031840

(7 db): k=22590712 (A pontosság megőrzésére már vigyázni kell!)