Mit jelent az, hogy egy függvény szigorúan monoton?

Az f függvény egy {a,b} intervallumban monoton nő, ha ott értelmezve van, és az intervallum minden olyan pontjára, melyre (x1 <=f(x2)).

Az f függvény egy {a,b} intervallumban monoton csökken, ha ott értelmezve van, és az intervallum minden olyan pontján, melyre (x1 =f(x2)).

Ha az egyenlőséget nem engedjük meg, a függvény szigoruan monoton nő, illetve csökken.

legegyszerűbb úgy elképzelni, hogy a szigorúan monoton függvény vagy folyamatosan nő, vagy folyamatosan csökken, tehát kizárólag csak növekvő vagy kizárólag csökkenő rész van benne, és egyetlen értéket csak egyszer vesz fel, azaz nincsenek benne "vízszintes" szakaszok a grafikonjában.

tehát tetszőleges x-et véve, a függvény nagyobb x-ekre kizárólag nagyobb értéket vesz fel, akkor szig. mon. nő, ha nagyobb x-re kizárólag kisebb értéket vesz fe, akkor szig mon csökken.

Nem írtad, hogy milyen kontextusban gondolod, mert pl. többváltozós véges függvényekre jelenthet egy kicsit mást, mint egyváltozós valós függvényekre. Mondok egy eshetőséget. Legyenek (K,+,*,<) és (K',+',*',<') teljesen rendezett testek, legyen az A halmaz részhalmaza K-nak, B halmaz pedig részhalmaza K‘-nek. Legyen f:A->B egy függvény. Az f függvényt szigorúan monotonnak nevezzük az értelmezési tartomány egy C részhalmazában def. szerint pontosan akkor, ha a C halmazon az f függvény vagy szigorúan monoton növő, vagy szigorúan monoton csökkenő. A szigorúan monoton növekedés C-n definíció szerint pontosan akkor áll fenn, ha minden C-beli c_1 és c_2 elem teljesíti azt a feltételt, hogy HA c_1<c_2, AKKOR

f(c_1)<'f(c_2). A szig. mon csökkenés pedig definíció szerint pontosan akkor igaz C-n, ha minden C-beli c_1 és c_2 elem teljesíti azt a feltételt, hogy HA c_1<c_2, AKKOR az alábbiak egyike sem áll fenn: f(c_1)<'f(c_2), f(c_1)=f(c_2). A sgn: R->{-1,0,1} függvény pl. a {-1,1}-en szigorúan monoton, de (-1,1)-en és [-1,1]-en nem. Sőt, az sgn függvény pontosan azokon az intervallumokon szigorúan monoton, amelyek üresek, vagy 1 darab pontból àllnak.