Mennyi a következő kifejezés értéke?

Nem tudom, de 4 tizedesjegy pontosággal ugyanannyi, mint (2014/2015)^2014 ≈ 0.3680

Egyébkét ennyi:

[link]

Az rendben, hogy az utolsó tag limesze 1/e, de végtelen sok nullához tartó dolog összege nem feltétlenül nulla.

Ennek ellenére lehet, hogy 1/e a határérték, legalábbis 1 millió tagig még talán ki tudta számolni a wolfram, és addig felülről közelítette az 1/e-t. (Azért talán, mert a sima számolás teljesen helytelen negatív szummát adott:

[link]

csak a "More digits" adta a talán helyes eredményt. Szóval egyáltalán nem bízom benne, hogy jó az, amit kiszámolt...)

Nem tudom, hogyan lehetne belátni az első n-2 számról, hogy azok összege 0-hoz tart...

Illetve megvan:

Az első n-2 számot adjuk össze külön:

  o(n) = [ 1^1 + 2^2 + 3^3 + ... + (n-2)^(n-2) ] / n^(n-1)

Az n-1-edik tag természetesen [(n-1)/n]^(n-1) → 1/e

Az első n-2 tagnál az alapot növeljük meg:

  o(n) < O(n) = [ n^1 + n^2 + n^3 + ... + n^(n-2) ] / n^(n-1)

ami leegyszerűsödik erre:

  O(n) = Σ 1/n^k

a szumma k=1-től (n-2)-ig megy. Ez egy mértani sor, összege:

  O(n) = 1/n · [ 1/n^(n-2) - 1 ] / (1/n - 1)

  O(n) = [ 1 - 1/n^(n-2) ] / (n-1)

Ez pedig 0-hoz tart, ha n → ∞

Akkor viszont o(n) is → 0

Szóval tényleg 1/e jön ki...