Ez az integrálás hogy jött ki (matek-fizika)?

A delta helyett inkább d-t írok, mert az integrálásban csak jobban néz ki, meg rövidebb:

dJ = –μ*J*da.

Osztunk J-vel:

dJ/J = –μ*da,

és most integrálunk. A bal oldalon 1/x integrálja van (x helyett J-vel), a jobb oldalon pedig egy konstansé.

ln(J) – ln(J(0)) = –μ*a.

Az integrálási C konstans helyett, ami matematikailag ugye akármi lehet –ln(J(0))-t írtam, hogy jó legyen a dimenzió a logaritmusban. Remélem, nem haragszol.

ln(J/J(0)) = –μ*a,

J/J(0) = e^(–μ*a),

J = J(0)*e^(–μ*a).

Leginkább a kezdeti feltételekből. (Tulajdonképpen nekem is arra kellett volna hivatkozni…)

Ugye integrálás után kijön egy ilyen:

ln(J/A) = –μ*a.

(Ugye az A-ból lehet csinálni egy additív konstanst a logaritmus mögé, csak így jobban látni a dimenziókat.)

Ebből

J = A*e^(–μ*a),

és ha adott például J(0) értéke, akkor a

J(0) = A*e^(–μ*0) = A*1 = A

egyenletnek kell teljesülnie.

Vagy másik lehetőség, hogy nem határozatlan integrált csinálunk az elején, hanem egyből határozottat:

dJ/J = –μ*da.

int(1/J', J' = J(0)..J(a)) = int(–μ, a' = 0..a)

ln(J(a)) – ln(J(0)) = –μ*a – (–μ*0).

És innét ugyanaz, mint fent.

Ugye ha az a' 0-tól a-ig megy, akkor J' J(0)-tól J(a)-ig.

Talán érdemesebb lenne úgy magyarázni, hogy minkét oldalt határozatlanul integráljuk.

∫ dJ/J = - ∫ μ da

Határozatlan integrálásnál bejön mindig valami konstans, hisz azért határozatlan, mert nem egy határozott megoldást ad meg, hanem a megoldások egy halmazát. Ezen a halmazon fut végig a konstans értéke, mint paraméter. Ha elvégezzük és tisztességesen kiírunk mindent:

ln(J) + c = - μ a + d

c és d a határozatlan integrálásból származó konstansok, de mivel ezek csak konstansok teljesen mindegy, hogy hogy vannak szóval a c-t át is vihetem a másik oldalra:

ln(J) = - μ a + d - c

Így a d-c kifejezést el is nevezhetnénk egy új konstanssal, mondjuk nagy c-vel, C=d-c. Mégegyszer, ezt azért tehetjük meg, mert csak konstansok, szét is szedhetnénk 26 darabra, de amikor a kezdeti érték alapján számolunk ugyanazt az egy darab számot osztanék 26 részre. Összevonva viszont sokkal átláthatóbb:

ln(J) = - μ a + C

Ebből pedig éadolással:

J = exp(- μ a + C) = exp(- μ a) * exp(C)

Mivel C konstans, ezért az e^c is az lesz, jelöljük most ezt nagy a-val, így:

J = A exp(-μa)

Kezdeti érték feltétel ebben az esetben, hogy J az a=0 helyen J_0, tehát J(a=0)=J_0=J(0)

J-t adja meg az utolsó előtti egyenlet, helyettesítsünk be:

J(0) = A exp(-μ*0) = A

Ezek szerint az A konstans értéke J(0), így már egyetlen megoldásunk maradt:

J=J(0) exp(-μa)

Ez borzasztóan szájbarágós, de egyszer mindenkinek el kell így magyarázni, mert különben nem érti az ember, hogy mit művelnek azokkal a konstansokkal.