Hány olyan kétjegyű pozitív egész szám van, melyből a számjegyek felcserélésével kapott kétjegyű számot kivonva, a két számjegy összegének négyzetével egyenlő számot kapjuk?

A szám legyen AB, vagyis 10A+B. 10A+B-10B-A=

9A-9B=(A+B)^2

9*valami az csak úgy lehet négyzetszám, ha a valami

1) valami=9

A-B=9->A=9, B=0, ez nyilván nem jó, mert 09 nem egy kétjegyű szám.

2) valami=9*négyzetszám, ez nyilván nem lehet, mert A-B nem lehet 9-nél nagyobb.

3) valami=négyzetszám, ez a számjegyek közül 1 és 4

A-B=1->A=B+1

(A+B)^2=(2B+1)^2=9

3=2B+1->B=1

A=2

21-12=9=(1+2)^2, egy megvan.

A-B=4->A=B+4

(2B+4)^2=36

6=2B+4

B=1

A=5

51-15=36=(1+5)^2, kettő megvan. Több nem lehet.

Feltettem, hogy sem A sem B nem lehet 0. De ha szerinted a 09 elmegy kétjegyű számnak, akkor az is jó.

én egyet találtam a 81-et :)

de nem is nagyon kerestem ugyhogy biztos hogy még van

A szám

N = 10a + b

A fordítottja

R = 10b + a

A különbségük

K = (10a + b) - (10b + a) = 10a + b - 10b - a = 9a - 9b

K = 9(a - b)

A feladat szerint ez egyenlő a számjegyek összegének négyzetével, vagyis

9(a - b) = (a + b)²

Felbontva a zárójeleket

9a - 9b = a² + 2ab + b²

Átrendezve, összevonva

0 = a² + 2ab - 9a + b² + 9b

0 = a² + a(2b - 9) + (b² + 9b)

Oldjuk meg ezt a másodfokú egyenletet a-ra

A részleteket mellőzve:

a1,2 = [(9 - 2b) ± 3√(9 - 8b)]/2

A determináns

D = 9 - 8b

amiből látható, hogy csak akkor van megoldása az egyenletnek, ha

b = 0

vagy

b = 1

Lássuk a két esetet

Ha b = 0

a1,2 = (9 ± 9)/2

ebből

a1 = 9

a2 = 0

Mivel a nulla nem lehet megoldás, marad az

a = 9

b = 0

számpár, azaz

N = 90

=====

Ellenőrzés

9(9 - 0) = (9 + 0)² = 81

Ha b = 1

a1,2 = (7 ± 3)/2

ebből

a1 = 5

a2 = 2

A két megoldás

a = 5

b = 1

és

a = 2

b = 1

vagyis

N = 51

=====

és

N = 21

=====

Ellenőrzés

N = 51

9(5 - 1) = (5 + 1)² = 36

ill.

N = 21

9(2 - 1) = (2 + 1)² = 9

Tehát a válaszom: három ilyen szám van: 21, 51, 90

DeeDee

**********