A kör sokszögnek tekinthető e?

Pongyolán megfogalmazva, bizonyos szempontból igen. Kissé korrektebben megfogalmazva a végtelenhez közelítő oldalszámú szabályos sokszög határértéke a kör.

Ilyen alapon bármilyen görbék által határolt síkidom közelíthető egy végtelenhez közelítő oldalszámú sokszöggel. De sokszög alatt valójában véges oldalszámú sokszöget szoktunk érteni. Különben a síkbeli sokszög és a síkidom egymás szinonimái lennének.

A második hülyeséget beszél, a negyög IS síkidom, egy csak annyit jelent, hoyg kétdimenziós forma.

A kört meg lehet sokszögnek tekinteni, és így lehet elképzeni: ha egy körbe beleírt négyszöget veszed alapul, akkor a határolóvonalak nagyon eltérnek egymástól. Ha a beleírt síkidom szögeit növeled (pl. nyolcszöget írsz bele), akkor már sokkal közelebb van a két vonal egymáshoz. Ahogy a szögek száma növekszik, egyre jobban megközelíti a kört és végtelen sok szög esetében a két csúcs közötti"vonal" egy pont lesz. (Próbáld ki, tényleg így van.)

végtelen mértékig egy sokszöggel.

A végtelenhez közelítő értékekkel foglalkozik részben a határérték számítás. A határérték pont ott jön be, ahol egy adott számmal egy adott művelet nem végezhető el, de lehet hozzá közelíteni, és lehet nézni, hogy hova konvergál ez a közelítés, vagy egyáltalán konvergál-e. Itt azt kell megérteni, hogy a végtelen nem egy szám, nem egy „nagyon-nagyon-nagyon nagy érték”, ahogy sokszor gondolni szoktunk rá, hanem inkább egy számszerű tulajdonság. De nem szám. Pl minden egész szám lehet páros, páratlan. A végtelen nem ilyen. Vagy egy szám lehet egész, racionális, vagy valós szám. A határérték számítás végtelenje esetén ez megint értelmezhetetlen. Vagy minden egész számnak van utolsó számjegye, vagy bármilyen számnak van első számjegye. A végtelennél ez megint nem értelmezhető.

Nem is úgy szoktuk felírni, hogy

1 / ∞ = 0

hanem úgy, hogy:

lim[n→∞] 1/n = 0

Az első felírás nem értelmezhető, nem korrekt megfogalmazás. A második felírás az, ami valójában korrekt. Itt igazából azt mondjuk, hogy bármilyen nullától nagyobb „a” számot mondani, amire létezik olyan n, ahol 0 < 1/n < a. Illetve nem tudunk olyan nullától kisebb „a” számot mondani, ahol 1/n < a, ahol a < 0.

Ugyanez igaz a nem végtelenhez, hanem egy adott véges számhoz konvergáló függvény esetén is, ahol az adott pontban a függvény nem értelmezhető, de a végtelenségig lehet közelíteni hozzá.

Pl. 1/0 = értelmezhetetlen.

De:

lim[n→0⁺] 1/n = ∞

illetve

lim[n→0⁻] 1/n = -∞

Tehát a végtelen nem szám. Végtelen oldalú sokszög nincs. Maximum a sokszögeknek egy olyan kvázi sorozata van, ahol az oldalak száma a végtelen felé tart, és amely sorozat határértéke a körhöz tart. Persze ez is így kicsit pongyola, hiszen matematikai értelemben vett sorozat számokból áll, de a sokszögek és a kör inden attribútuma így viselkedik. Pl. a terület esetén:

T[3] = 3 * r² * tg(π/3)

T[4] = 4 * r² * tg(π/4)

T[5] = 5 * r² * tg(π/5)

(Ahol r a beírt kör sugara)

Tehát ha egy sorozatot csinálok a szabályos sokszögek területéről, ahol n az oldalak száma, akkor:

lim(n→∞) n*r²*tg(π/n) = r²π = T[kör]

Ugyanígy ha felírom mondjuk a köré írható körrel a területet, akkor is:

lim(n→∞) 1/2*n*R²*sin(2π/n) = R²π = T[kör]

Tehát minden attribútumát nézve a szabályos sokszögek sorozatának az így felírt sorozat esetén az oldalak száma a végtelenhez tartva a kör azonos attribútumát adja határértékként. Ez így talán a legkorrektebb megfogalmazás.

Opsz. Lemaradt az előző válasz eleje. Azt akartam írni, hogy:

> A második hülyeséget beszél, a negyög IS síkidom, egy csak annyit jelent, hoyg kétdimenziós forma.

Nem is állítottam ennek az ellenkezőjét. Minden síkbeli sokszög egyben síkidom is. Viszont nem minden síkidom sokszög. A kört nem szoktuk sokszögnek tekinteni, ahogy az ellipszist sem, vagy a körcikket sem. Különben a sokszög és a síkidom ugyanazt takarná. Pont azért különböztetjük meg a két fogalmat, mert nem azonos az értelmük. Minden sokszög síkidom, de nem minden síkidom sokszög. Még akkor sem, ha történetesen minden síkidom közelíthető végtelen mértékig egy sokszöggel.

… Ez volt a hiányzó rész …

Így biztos nem.

[link]

„A geometriában sokszögnek (idegen szóval: poligonnak) nevezzük azokat a síkidomokat, melyeket véges sok, egymáshoz csatlakozó egyenesszakasz alkotta zárt görbe (azaz zárt töröttvonal) határol.”

A kört nem szakaszok határolják. De még egy körcikk – bár van két egyenes oldala, és legalább egy szöge, még az sem sokszög. Sokszöget csak egyenes szakaszok alkothatnak, semmi más.

Amúgy definíció szerint sem végtelen oldalú sokszög a kör, hiszen sokszöget csak véges szakasz alkothat.