Ha összeszoroznánk az első 50 millió prímszámot, akkor mekkora számot kapnánk?

A prímszámtétel szerint az n-edik prímszám aszimptotikusan ez:

p(n) = n · ln n

Ezzel a közelítéssel számolva az első n prímszám szorzata:

 n

 Π k · ln k = n! · Π ln k

k=2

A számjegyek száma ennek a 10-es alapú logaritmusa.

lg n! + Σ lg ln k

Az első tag a Stirling formulával becsülhető:

lg n! ≈ n·lg(n/e) + lg(2π·n)/2

A szumma pedig integrálással helyettesíthető:

∫ lg ln x dx = x·lg ln x - li x / ln 10 + C

(Ez utóbbi képletet a Wolfram adta, magamtól valószínű nem jöttem volna rá.)

Az első 5 millió prímmel kiszámoltam pontosan is (programot írtam rá):

Az 5 milliomodik prímszám a 86028121, a prímek szorzatának a 10-es logaritmusa odáig ennyi:

37356773.998

A fentiek szerinti közelítő érték pedig:

lg 5000000! ≈ 31323381.361

az integrál   ≈   5789707.251

Ezek összege:

37113088.612

Meglehetősen pontosan (1% alatti hibával) jött ki.

(Az 5 milliomodik prímszám egyébként a becsléssel számolva ≈ 77124742, az nem annyira pontos.)

--

Az első 50 milliót már nem tudja kiszámolni a programom.

A közelítő érték:

363233780.37 + 61128856.24 = 424362636.61

kb. 424 millió számjegy.

Csak érdekességképpen: megvan a pontos érték is:

Az 50 milliomodik prím a 982451653

A prímek szorzata odáig 426656454 számjegyű.

(426.6 millió)

Fél százalék volt a hiba.