Igaz vagy hamis az alábbi állítás?

Kicsit utánaszámoltam, de nem biztos, hogy jó, de ahogy számoltam, úgy a második egy ormótlan nagy szám az elsőhöz képest.

A következőképpen számoltam:

Tudjuk, hogy a !-os szám mit jelent. Ezt a számot tudjuk úgy becsülni felülről, hogy a szorzat minden tagját lecseréljük a számra, vagyis

(10^(10^10-10))!=(10^(9.999.999.990))!<(10^(9.999.999.990))^(10^(9.999.999.990)), ezzel ugye minden tagot a szorzatban lecseréltünk ugyanarra a számra, méghozzá a legnagyobbra, így biztosan nagyobb szorzatot kaptunk. Írjuk fel a két számot:

(10^(9.999.999.990))^(10^(9.999.999.990)) ? 10^10^10^10 (a kérdőjel helyére valamilyen reláció fog kerülni, csak nem tudjuk, hogy milyen)

Vegyük mindkét oldal 10-es alapú logaritmusát, majd végezzük is el a műveletet:

(10^(9.999.999.990))*9.999.999.990 ? 10^10^10

Tegyünk egy újabb felfelé kerekítést: 9.999.999.990 ~ 10.000.000.000 =10^10, ekkor ezt kapjuk:

10^10.000.000.000 ? 10^10^10 megint vegyük mindkét oldal 10-es alapú logaritmusát, és végezzük is el, amit lehet

10.000.000.000 ? 10^10=10.000.000.000

A legvégére azt kaptuk, hogy egyenlők, viszont az eredeti számot kétszer felülről becsültük, ráadásul nagyságrendekkel nagy számokkal, tehát a 10^10^10^10 egy ormótlan nagy szám a (10^(10^10-10))! számhoz képest.

Így attól függően, hogy a kb. egyenlő mit takar, lehetnek kb. egyenlők, meg nem, de gondolom ezzel a megoldással inkább azt kaptuk, hogy kb. sem egyenlők.

Ha valaki talál benne hibát, javítson :)

Itt a Faktoriális közelítő formuláját, a Stirling-formulát lenne érdemes használni.

10^(10^10-10)! = 10^9 999 999 990! ~ √(2π*10^9 999 999 990) * (10^9 999 999 990/e)^10^9 999 999 990

Vegyük ennek a 10-es alapú logaritmusát:

log(√(2π*10^9 999 999 990) * (10^9 999 999 990/e)^10^9 999 999 990)

Ezt szépen le lehetne vezetni, de spóroljuk meg ezt magunknak: [link]

Tehát az eredmény 10^10^10^1,000 000 000 000 683 = 10^10^10,000 000 000 015 73

Az másik oldal logaritmusa meg ugye 10^10^10.

Szóval a hatványtorony tetején lévő szám alig tér el egymástól. Viszont ez nagyságrendi különbséget jelent a két szám között, tehát a kb. egyenlő értelmezésén múlik, hogy közel azonosnak tekinted-e vagy sem. Úgy ésszerűnek tűnő használat mellett nyugodtan mondhatod azt, hogy kb. egyenlőek.

2xSü, az én megoldásomat megnézted? Van benne hiba? Én vagy háromszor átnéztem, de nem találtam, de késő este írtam, szóval lehet, hogy van benne hiba.

A Stirling-formulát én is próbáltam használni, csak a wolframAlpha valahogy nem akarta elbírni, azért írtam azt a megoldást, amit írtam.

#6: Opsz, valóban. :-) Akkor még inkább igaz az kvázi egyenlőség.

Én is kissé szétzilált voltam, mikor írtam.

#3: Bevallom őszintén, hogy nem néztem meg tüzetesen a dolgot, csak nekem a felülről becslés kifejezés miatt, meg a Stirling-formula hiánya miatt jött az indíttatás, hogy akkor közelítsük meg ilyen irányból (is) a kérdést, mert talán korrektebb eredményt ad. De majd meglesem újra.

Ha jól látom, akkor ezt írtad fel:

(n)! < n^n

Ez elég durva felső becslés.

10 esetén:

10! < 10^10

3 628 800 < 10 000 000 000

100 esetén:

9,3326*10^157 < 10^200

De úgy tűnik, hogy onnan viszont jó a folytatás. Viszont a sok kb. egyenlő miatt nagyjából kijön az, ami nálam is.