Matematikai bizonyításban ez járható út?
Lehet olyat csinálni, hogy egy bizonyos összefüggéssel bizonyítok egy állítást az összes (végtelen) esetre, kivéve egyetlen esetre, ennél az egy konkrét esetnél viszont könnyen belátható, hogy az állítás rá is teljesül?
Konkrétan: bármelyik 4-nél nagyobb szám esetén n és 2n között van négyzetszám. Egyértelmű, hogy ha gyök(2n)-gyök(n)>1, akkor van közöttük négyzetszám. Azonban ez csak 6-tól felfelé működik, mert gyök(10)-gyök(5)=0.9262
Viszont azt már könnyű belátni, hogy
gyök(5) < 3 < gyök(10)
csak képtelen vagyok olyan összefüggést megfogalmazni, amiből ez az egyetlen eset nem lóg ki.
Egyébként arra gondolok, hogy bármelyik két számra igaz, hogy x és y (x<y) között akkor van négyzetszám, ha x+(gyök(y)-gyök(x)) nagyobb, mint az x-től nagyobb legközelebbi egész szám, ezt viszont nem tudom matematikai műveletek segítségével megfogalmazni.
válasza: válasza:Én így gondolom: Kis számokra megnéz(t)ed, hogy mikor igaz.
Nagy számokra pedig bizonyítod:
A négyzetszámok közti távolság n^2 és (n+1)^2 között 2n+1.
A Te példádra vonatkoztatva n-től felfelé a legközelebbi négyzetszám legfeljebb 2*gyök(n) + 1-re van. (Ha n négyzetszám.)
Tehát: n + 2*gyök(n) + 1 < 2n ; megoldása n > 3 + 2*gyök(2) (~5.828)
Ennél nagyobb egész számokra mindenképp igaz.
Mondjuk ha a határok nincsenek megengedve:
n + 2*gyök(n) + 2 < 2n ; megoldása n > 2*(2+gyök(3)) (~7.46)
Erre az összefüggésre (bár némileg másképp levezetve) már én is rájöttem korábban, lásd itt:
http://www.gyakorikerdesek.hu/tudomanyok__termeszettudomanyo..
A mostani kérdésemet pontosan ez inspirálta. Az rendben van, hogy ha +1-gyel növelem az egész gyököt, akkor a következő négyzetszám gyökét kapom, aminek kisebbnek kell lennie, mint gyök(2n). De nem minden szám gyöke egész szám, és ahogy a 5.828-nál látszik, 5-re már nem működik, mert gyök(5)-hoz ha hozzáadsz 1-et, akkor az már több, mint gyök(10), és így tévesen úgy látszik, mintha nem lenne 5 és 10 között négyzetszám.
válasza:Egy bizonyítás lényege az, hogy a kérdéses szabályt minden létező esetre bemutatod. Vagy azt mutatod meg, hogy a szabály mindenütt érvényes (direkt módszer), vagy azt, hogy ha lenne egyetlen eset, amikor nem érvényes, az ellentmondást jelentene (indirekt módszer).
Hogy ezt hány mondatban és milyen bonyolultan fogalmazod meg, az az elegancia kérdéskörébe tartozik. Nyilván elegáns valamit egyetlen rövid mondatban megmutatni, de ez nem mindig megy. Gyakori, hogy egy állítás többféleképpen is bizonyítható, közülük az a frappáns, amelyik a legegyszerűbb. De a többi is jó. Hogy ezt a konkrét problémát két mondatban bizonyítod, attól még jó.
Egyébként a teljes indukció módszere (ami gyakran az egyetlen és hatásos módszer) éppen ilyen formájú. Egy konkrét esetre megmutatjuk, hogy igaz, a többit meg belőle levezetjük.
Kapcsolódó kérdések:
Minden jog fenntartva © 2024, www.gyakorikerdesek.hu
GYIK | Szabályzat | Jogi nyilatkozat | Adatvédelem | Cookie beállítások | WebMinute Kft. | Facebook | Kapcsolat: info(kukac)gyakorikerdesek.hu
Ha kifogással szeretne élni valamely tartalommal kapcsolatban, kérjük jelezze e-mailes elérhetőségünkön!