Hogyan folytatódik a minta? Hogyan lehet kiszámolni?
Ha 10 hatványai faktoriálisának 10-es alapú logaritmusát (vagy számjegyeinek számát) nézzük, akkor a kezdő
számjegy(ek) - n-1 - után, fokozatosan egy minta alakul ki "5657055...":
10^n, lg((10^n)!)
------ ------
100 157.970003654716
1000 2567.60464422214
10^4 35659.4542745208
10^5 456573.450899971
10^6 5565708.91718672
10^7 65657059.0800574
10^8 756570556.208765
10^9 8565705522.99584
10^10 95657055186.3666
------ ------
Hogyan lehet ezt a kialakuló, ismétlődő mintát hosszabban kiszámolni, óriási számok faktoriálisának számolása nélkül, akár egy számológéppel is?
Mondjuk n=1000 esetén:
lg ( 10^1000 ! ) ≈ 999.565705518096748172348871081083394917705602994196333433885546 · 10^1000
Általánosan:
lg ( 10^n ! ) ≈ [(n-1) + 0.565705518096748172348871081083394917705602994196333433885546... ] · 10^n
ahol a 0.5657055... zárt formában nagyon egyszerű képlettel írható fel:
1 − 1 / ln(10)
Így jön ki:
Ismert a Stirling formula:
ln(x!) ~ x·ln(x) − x
ami aszimptotikusan közelíti a faktoriális logaritmusát.
Áttérve 10-es alapú logaritmusra:
lg(x!) ~ x·lg(x) − x / ln(10)
= x·( lg(x) − 1/ln(10) )
behelyettesítve x = 10^n-et:
lg(10^n !) ~ 10^n · ( n − 1/ln(10) ) = ( n−1 + 1 − 1/ln(10) ) · 10^n
készen is vagyunk.
Megjegyzés: A fenti Stirling közelítésnek a hibája O(ln x), ami nagy x-eknél nem kevés, de könnyen levezethető, hogy ennek a figyelembevételével sem módosul az 1 − 1/ln 10 képlet:
A pontosabb összefüggésben van még egy ilyen tag is:
... + 1/2·ln(2π·x)
(Ennek a hibája már csak O(1/x).)
Ebbe is x=10^n-t helyettesítve gyorsan kijön, hogy ebből egy n/2 + konstans tag lesz. Annak pedig annyi a hatása, hogy a 0.5657055...-nek nem az első n számjegye, hanem "csak" az első n − lg(n/2) számjegye lesz pontos. Tehát mondjuk lg( 10^1000 ! ) esetén az első 997 tizedesjegy lesz pontos.
Kapcsolódó kérdések:
Minden jog fenntartva © 2025, www.gyakorikerdesek.hu
GYIK | Szabályzat | Jogi nyilatkozat | Adatvédelem | Cookie beállítások | WebMinute Kft. | Facebook | Kapcsolat: info(kukac)gyakorikerdesek.hu
Ha kifogással szeretne élni valamely tartalommal kapcsolatban, kérjük jelezze e-mailes elérhetőségünkön!