Hogyan folytatódik a minta? Hogyan lehet kiszámolni?

Mondjuk n=1000 esetén:

lg ( 10^1000 ! ) ≈ 999.565705518096748172348871081083394917705602994196333433885546 · 10^1000

Általánosan:

lg ( 10^n ! ) ≈ [(n-1) + 0.565705518096748172348871081083394917705602994196333433885546... ] · 10^n

ahol a 0.5657055... zárt formában nagyon egyszerű képlettel írható fel:

  1 − 1 / ln(10)

Így jön ki:

Ismert a Stirling formula:

  ln(x!) ~ x·ln(x) − x

ami aszimptotikusan közelíti a faktoriális logaritmusát.

Áttérve 10-es alapú logaritmusra:

lg(x!) ~ x·lg(x) − x / ln(10)

  = x·( lg(x) − 1/ln(10) )

behelyettesítve x = 10^n-et:

  lg(10^n !) ~ 10^n · ( n − 1/ln(10) ) = ( n−1 + 1 − 1/ln(10) ) · 10^n

készen is vagyunk.

Megjegyzés: A fenti Stirling közelítésnek a hibája O(ln x), ami nagy x-eknél nem kevés, de könnyen levezethető, hogy ennek a figyelembevételével sem módosul az 1 − 1/ln 10 képlet:

A pontosabb összefüggésben van még egy ilyen tag is:

  ... + 1/2·ln(2π·x)

(Ennek a hibája már csak O(1/x).)

Ebbe is x=10^n-t helyettesítve gyorsan kijön, hogy ebből egy n/2 + konstans tag lesz. Annak pedig annyi a hatása, hogy a 0.5657055...-nek nem az első n számjegye, hanem "csak" az első n − lg(n/2) számjegye lesz pontos. Tehát mondjuk lg( 10^1000 ! ) esetén az első 997 tizedesjegy lesz pontos.