N dimenziós gömb térfogata miért csökken az 5. dimenziótól?

Először nekem is furcsa volt azán leesett. Gondolom r=1-el számoltál azaz egységnyi sugarú gömbbel. r>1 pl r=2-re egyre nagyobb érték jön ki. Az alapmértékegységnek egyre kevesebbszerese lesz az 5.-ik dimenziótól ha egységnyi sugarú lesz mindig, de az alap mértékegység is mindig más és más lesz. SI szerint (ez lényegtelen lehetne angol ász vagy más is) négyzetméter, köbméter, méter a negyediken stb.

Melyik a nagyobb 1 méter sugarú kör vagy 1 méter sugarú gömb? Jobb kérdés: Melyik a nagyobb egy 100 méter oldalhosszú négyzet vagy egy köbméter? Vagy még jobb: A hűtőm a fehérebb vagy a 30 centis vonalzóm a hosszabb?

Remélem érthető.

"És tudunk is relációt állítani a mértékegységek között: m<m^2, m^2<m^3,..., m^n<m^n+1. Sőt azt is mondhatnánk, hogy m^2 * 0 = m vagy m * végtelen = m^2."

Az igaz, hogy tudunk relációt állítani a mértékegységek között, de az nem igaz, hogy m^2 * 0 = m és m * végtelen = m^2.

Helyette az igaz, hogy m^2 * m^-1 = m vagy másként m^2 / m = m és m * m = m^2. Attól, hogy a mértékegységek között felállíthatunk rendezési relációt nem azt jelenti, hogy van váltószám közöttük (tudom a végtelen nem szám). E szerint bárhány (pozitív) méter kevesebb mint egy négyzetméter ugyan ez igaz magasabb dimenziókra.

"a felület térfogata 0, mert nincsen magassága. Vagy az egyenes területe nulla, mert nincs szélessége és így tovább."

Igen.

"A lényeg, hogy a fenti gondolatmenetből következtethető, hogy egy kockánál annál nagyobb értéket kapunk a maximális kiterjedésre, minél több dimenziós. Legyen a kocka éle 2 m. Ekkor V1 = térfogat = 2^3 m^3 = 8 m^3, V2 = 16 m^4 ... Vn = 2^n m^n."

Az egységnyi oldalhosszú n dimenziós kocka az alapmértékegység, dehát az 1 méter oldalhosszú n dimenziós kocka (n>=1 esetében) mindig 1 egységű térfogatú lesz (hiszen ez az alapmértékegység).

1 egységnél rövidebb n dimenziós kocka esetén meg mindig egyre kisebb szám jön ki.

"A kérdés az, hogy ez gömbnél miért nincsen így? És mitől függ (milyen alakzatoknál), hogy ez igaz és meddig?"

Gondolj bele hogy vettünk egy 1 méter oldalhosszú n dimenziós kockát, de az ölt választom alap mértékegységként meg méter helyett, akkor n minél nagyobb annál kisebb szám jön ki, ha méterbe akkor mindig 1 marad, ha a cm-t választom alapegységként akkor meg n függvényében exponenciálisan nő, pedig a válaszott mértékegység nem változtat a méreten.

Az hogy milyen alakzatoknál milyen szám jön ki azt a fene tudja főleg bonyolultabb alakzatoknál, már egy 4 dimenziós test is nagyon összetett.

Egy n dimenziós téglatestnél ahol az oldalhosszúságok egy sorozat első n tagja adja meg és a sorozat minden tagja nagyobb mint 1 akkor n minél nagyobb annál nagyobb érték jön ki.

Van egy r sugarú gömböm melynek van egy d=2*r átmérője, ennek az alakzatnak két egyméstól legtávolabbi pontja d egységre van egymástól. Az összes létező olyan alakzatok közül melyre igaz hogy 2 legtávolabbi pontja d egységre van egymástól a gömbnek van a legnagyobb térfogata. Ez igaz magasabb dimenziókban is.

Számoljuk ki.

Kicsit hosszú, de ha már végigszámoltam, leírom :) A végén ott lesz a nem egész dimenzió is...

A különböző sugarú, de egyformán n dimenziós gömbök hasonlóak egymáshoz, ezért térfogatuk aránya:

V₁/V₂ = R₁ⁿ/R₂ⁿ

Ez azt jelenti, hogy egy gömb térfogata felírható így:

V = V(n)·Rⁿ        (1)

ahol V(n) csak a dimenziótól függ, a sugártól nem.

Valójában V(n) az egységsugarú n dimenziós gömb térfogata, de tekintsük inkább egy mértékegység nélküli számnak. A mértékegység Rⁿ-en keresztül jön be, hogy m², m³ vagy bármi más.

Ezeket a V(n)-eket össze lehet hasonlítani (bár ez az összehasonlítás analóg azzal, hogy a villamos hosszabb-e annál, mint amilyen sárga).

V(1) = 2     (1 "sugarú" egyenes hossza)

V(2) = π     (1 sugarú kör területe)

V(3) = 4π/3 (1 sugarú gömb térfogata)

A többit vezessük le rekurzívan:

Az origó középpontú, egységsugarú n dimenziós gömb azon pontok mértani helye, amik az origótól legfeljebb 1 távolságra vannak:

√(X² + Y² + Z² + ...) ≤ 1

Azon pontok részhalmaza, amiknek az abszcisszája X=x, az egy n-1 dimenziós test. Ez írható fel rá:

x² + Y² + Z² + ... ≤ 1

√(Y² + Z² + ...) ≤ √(1 - x²)

Vagyis ez egy √(1-x²) sugarú n-1 dimenziós gömb. Annak térfogata az (1) képlet szerint ennyi:

V(n-1)·√(1 - x²)^(n-1)

Ennek segítségével kiintegrálhatjuk az n dimenziós egységsugarú gömb térfogatát, vagyis V(n)-et:

           1

V(n) = ∫ V(n-1)·√(1 - x²)^(n-1) dx

          -1

V(n-1) x-től is független, kivihető az integrálon kívülre. A fennmaradó integrált kötött n-ekre kiszámítható, de jobban járunk, ha még egy dimenzióval beljebb megyünk, vagyis x mellett y-t is lekötjük:

√(Z² + ...) ≤ √(1 - (x²+y²))

Vagyis ami nem kötött, az egy √(1-(x²+y²)) sugarú n-2 dimenziós gömb.

x²+y² helyett érdemes polár-koordinátákat használni, hisz abban a φ ki is esik most, csak az r marad.

Így az n-2 dimenziós gömb térfogata az (1) képlet szerint ennyi:

V(n-2)·√(1 - r²)^(n-2)

Az n dimenziósé pedig:

          1 2π

V(n) = ∫  ∫ V(n-2)·√(1 - r²)^(n-2)  r·dφ dr

          0 0

A polárrá váltáskor kihasználtam, hogy a Jakobi determináns értéke egyszerűen r, ezért dx·dy = r·dφ·dr

Ezt könnyebb integrálni, mert φ-től független, ezért φ szerint egyszerűen 2π-vel való szorzás lesz; r szerint pedig az 1-r² belső függvény deriváltja megjelent szorzóként, így érdeme u = (1-r²) helyettesítést csinálni:

V(n) = V(n-2) · π · ∫ 2r·(1-r²)^(n/2 - 1) dr = V(n-2) · π · ∫ - u^(n/2 - 1) du

Az integrálás 1-től 0-ig megy u szerint, úgyhogy a negatív előjel eltűnik, és egyszerűen 2/n lesz az érték:

V(n) = V(n-2) · π · 2/n

Vagyis egy nagyon egyszerű iteráló képlet adódott:

V(n+2) = V(n) · 2π/(n+2)

Amíg a szorzó 1-nél nagyobb, addig nő a mérőszám, utána csökken. Vagyis maximuma n=5-nél van, hisz 7 > 2π

...Kicsit azért trükkösebb a dolog, mert V(6) > V(4), tehát nem is biztos, hogy 5 a maximum. Pontosabban kell kiszámoljuk 5 körül:

V(1) = 2

V(3) = 2 · 2π/3

V(5) = 4π/3 · 2π/5

V(2) = π

V(4) = π · 2π/4

V(6) = π²/2 · 2π/6

Mivel V(5) = 8π²/15 > V(6) = π³/6, tényleg 5 a maximum.

De menjünk tovább. Próbáljunk rá kötött képletet adni. Nézzük a most kiszámolt V(n) képletek között csak a párosakat először:

n = 2k

Vegyük észre, hogy mindig π/k-val szorzunk.

V(2k) = π^k / k!

(Érdemes egyébként V(0) értékét 1-nek tekinteni, úgy V(2)-re is igaz lesz ez a π/k-val szorzás. A 0 dimenziós gömb egyetlen pont, térfogata a sugártól függetlenül is 1. Valójában bármilyen 0 dimenziós "tárgy" egyetlen pont, mindnek 1 a térfogata...)

A páratlanoknál nem sima faktoriális lesz, mert csak a páratlan számok szorzata szerepel a nevezőben. Ezt szemifaktoriálisnak szokták nevezni és két felkiáltójel a jele:

V(2k+1) = (2π)^k/(2k+1)!!

Ez kicsit ronda, nem hasonlít a párosra elégge. Viszont máshogy is írhatjuk: 2π/(2k+1) helyett π/(k+1/2)-ként írva a rekurzív szorzókat már egyesével csökkenő számokat kell szorozni, de nem egészeket. Van ilyen "faktoriális" is, gamma függvény a neve. Most a részleteit ne nézzük (egy ronda integrál a definíciója, lásd mondjuk wikipédia), ennyi a fontos belőle:

Egészekre:

Γ(1) = 1

Γ(n+1) = n!

Felekre:

Γ(1/2) = √π

Γ(x+1) = x·Γ(x)

Ezzel a függvénnyel felírva a párosakat:

V(2k) = π^k / Γ(k+1)

n=2k → V(n) = π^(n/2) / Γ(n/2 + 1)

A páratlant kicsit hosszabb levezetni:

Emlékeztetőül:

V(1) = 2

V(3) = 2 · π/(3/2)

V(5) = 2 · π/(3/2) · π/(5/2)

Az induló 2-t lehet 1/(1/2)-nek írni, az jobban illeszkedik a többihez.

Mivel Γ(k + 1/2) = (k-1 + 1/2)·(k-2 + 1/2)·...·(1 + 1/2) · (1/2) · √π

Ezért 1/2 · 3/2 · 5/2 · ... · (2k+1)/2 = Γ(k+1 + 1/2) / (√π)

V(2k+1) = π^k · √π / Γ(k+3/2)

n=2k+1 → V(n) = π^(n/2) / Γ(n/2 + 1)

Ugyanaz jött ki, mint párosnál! Tehát ez paritásfüggetlen képlet. Sőt, mivel a Γ értelmezve van minden számra (még komplexekre is...), lehet tört dimenziókban is számolni.

A wolfram szerint a fűggvény maximuma 5.2569 körül van:

[link]