Melyiknek a legnagyobb, ill a legkisebb a felülete az azonos anyagú és tömegű testek közül, ha az egyik kocka, a másik gömb, a harmadik átmérő=magasság alakú henger?

Legnagyobb: kocka

Legkisebb: gömb

1 - kocka

2 - gömb

3 - hasáb

Mivel azonos anyagú és tömegű testekről van szó, így térfogatok alapján kell kezelni a témát.

Ha a kocka élhosszát egyenlőnek tekintjük a gömb, ill. a hasáb alapjának sugarával:

V1=r^3, V2=4/3*r'^3*pi, V3=r"^2*pi*(2r")=2r"^3*pi

r élhosszúságú kockát le kell normálni r' sugarú gömbre.

r^3=4/3*r'^3*pi

r'=[3/(4*pi)*r^3]^(1/3)

Lenormálva r" sugarú hasábra:

r^3=2r"^3*pi

r"=[r^3/(2*pi)]^(1/3)

Felszínek:

A1=6r^2

A2=4*r'^2*pi

A3=2*r"^2*pi+2*r"*pi*(2r) = 2*r"^2*pi+4*r"^2*pi = 6r"^2*pi

Visszahelyettesítve a kockára normált "r" értékekkel:

A2=4*([3/(4*pi)*r^3]^(1/3))^2*pi = (36*pi)^(1/3)*r^2

A3=6([r^3/(2*pi)]^(1/3))^2*pi = 6*(pi/4)^(1/3)*r^2

Tehát a normált felületek:

A1=6r^2

A2=(36*pi)^(1/3)*r^2=4,836r^2 (kerekített)

A3=6*(pi/4)^(1/3)*r^2=5,536r^2 (kerekített)

Tehát beigazolódott, hogy arányaiban a gömb felülete a legkisebb.

________________________________________________________________________________

És mivel időközben jött egy újabb kérdés is:

Ha a gömb átmérője és a hasáb átmérője megegyezik a kocka élhosszával:

A1=6r^2

A2=4(2r)^2*pi = r^2(16*pi)

A3=6(2r)^2*pi+2*(2r)*pi*(2r) = r^2(32*pi)

Térfogatokra normálva:

A1/V1=6r^2/r^3=6/r

A2/V2=r^2(16*pi)/[4/3*r^3*pi]=12/r

A3/V3=r^2(32*pi)/[2r^3*pi]=16/r

Tehát a felület/térfogat arányok esetén a következő a sorrend: kocka<gömb<hasáb.

Mert te akkorának vetted a kocka élhosszát, mint a gömb/alaplap átmérője. Nekem annak a fele.

r <=> 2r=d