Kettőnek hányadik hatványa kezdődik 10 db kilencessel?

Megoldást nem tudok ideírni, meg kell elégedj a levezetéssel :)

Van egy, pontosabban két egyenlőtlenségünk:

9999999999·10^m < 2^n < 10000000000·10^m

vegyük a 2-es alapú logaritmusát:

log₂(9999999999) + m·log₂(10) < n < log₂(10000000000) + m·log₂(10)

log₂(9999999999) = 33.21928094872935397460708447895298357516432603791965364674286...

log₂(10000000000)=33.21928094887362347870319429489390175864831393024580612054756...

Ezeknek az első 9 tizedesjegye azonos. Vegyük nagyjából az átlagukat:

m·log₂(10) + 33.2192809488 ≈ n

És persze n egész szám kell legyen, ezért:

m·log₂(10) + 34 ≈ n + 0.7807190512

vagyis m·log₂(10) tört része ≈ 0.7807190512

Most már csak találni kellene ilyen m-et. Írtam rá egy programot, de a számábrázolás pontatlansága miatt nem igazán jó. Olyat találtam csak, aminél 6 darab 9-es van a szám elején:

2^6107016 = 99999968634851492047845625359166838816648823438980228... és van még utána 1838342 darab számjegy.

8 darab 9-es:

2^146964308 = 9.999999928150136138979340404978897475743195083628709... × 10^44240664

Nem is, ez csak 7 :(

Már számolni se tudok, megyek aludni.

Kicsit számolgattam, csak úgy.

Ha azokat a számokat vesszük, amelyek csak egy 9-essel kezdődnek, akkor a 2 20000 alatti hatványai között durván 800 ilyen van. Ha 2 kilencessel, akkor durván 80, ha 3 kilencessel, 7 (kb. 8???).

Ha ez a tendencia a továbbiakban is fennáll, akkor a hatványkitevő, amit keresünk, minimum 11 számjegyű.

Mellesleg érdekes összefüggést vélek felfedezni a hatványkitevők növekedésében.

Ezt valószínűségszámítással szerintem nem túl nehéz belátni, hogy nem véletlen.

Fentebb a #12 válaszomat a gyk.hu jól elrontotta, az ismétlődő 99-eseket meg 00-asokat lerövidítette 6 hosszúakra. Durva!! Természetesen 10 darab 9-es meg 0-as van ott.

Közben találtam 8 darab 9-essel kezdődőt:

2^690121546 = 9.999999975957172937099956072518751993087636721251891... × 10^207747285

(végülis ez majdnem 9 kilences :) )

Nekem most lett meg ugyanaz a szám:

2^1923400330 = 9.99999999972138284373592715185977596705964010803980... × 10^579001192

Az az algoritmus alapja, amit fentebb írtam, a gond a számábrázolással van csak. Szóval normál C-vel ez már kicsivel kijjebb van a long double pontosságán (nem maga a szám, az sokkal kijjebb van, hanem a logaritmusa). Most éppen bc-ben futtattam, úgy jött ki ez az eredmeny, de az nagyon lassú. Fixpontos aritmetikát kell hozzá csinálni, úgy szerintem elég pontosság érhető el nagy sebességgel.

A hülye gyk.hu megin lerövidítette a 9-esek sorozatát...

9.9 9 9 9 9 9 9 9 9 7 2 1 3 8 2 8 4 3 7 3 5 9 2 7 1 5 1 8 5 9 7 7 5 9 6 7 0 5 9 6 4 0 1 0 8 0 3 9 8 0... × 10^579001192