Mi az a multiplicitás és hogy kapcsolódik a karakterisztikus egyenlethez?

A multiplicitás az a többszörös gyököt jelenti, például az (x-4)^6=0 egyenletnek a megoldása 4, aminek a multiplicitása 6, mivel az x-4 6-szor kiemelhető;

(x-4)^6=(x-4)*(x-4)*(x-4)*(x-4)*(x-4)*(x-4)*(x-4)

A karakterisztikus egyenletben csak annyi az érdekesség, hogy az algebrából tanultak alapján a polinom deriváltjának ugyanaz a gyöke, ezért ha a felírható másodfokú egyenletben ugyanaz a két gyök, akkor más a forgatókönyv, mintha nem lenne.

Na, az elsőt, amit leírtál, azt nem nagyon értem.

Amit az előbb leírtam, akkor egy kicsit leegyszerűsítem:

Másodfokú egyenleteknél van egy megoldóképlet, amit tudunk használni a gyökök meghatározásához, aztán a gyököket felhasználva fel tudjuk írni az egyenlet szorzatalakját:

1) x^2+x-6=0

Oldjuk meg az egyenletet megoldóképlettel, megkapjuk, hogy x1=2 és x2=-3, tehát a szorzatalakja:

(x-2)(x+3)=0, ennek tényleg az a megoldása, amit kiszámoltunk. Ebben az esetben a 2 és a -3 egyszeres gyökök (csak 1-1 olyan tényező van, amibe ha beírjuk a gyököt x helyére, akkor megoldást kapunk).

2) x^2+4x+4=0

Megoldóképlettel kijön, hogy x1=-2 és x2=-2, tehát felírható, hogy

(x+2)*(x+2)=0

Ebben az esetben a -2 kétszeres gyök, mert a szorzatnak 2 olyan tagja van, amibe ha x helyére beírjuk a -2-t, akkor megoldást kapunk.

Ha ezt az egyenletet írjuk fel:

(x-3)*(x-3)*(x-9)*(x+5)*(x+5)*(x+5)*(x+5)=0, akkor ennek az egyenletnek a megoldásai 3; 9 és -5. A 3 2-szeres, a 9 1-szeres, a -5 pedig 4-szeres gyöke az egyenletnek.

Így már érthető?