Ha f (x) = xsin (1/x), és f (0) =0 mindenhol értelmezett, akkor egyenletesen folytonos? (0,1) intervallumon egyenletesen folyt. A Heine-tétellel, be lehet látni, de az itt nem alkalmazható.

A kritikus pont az x=0, mivel ott nincs értelmezve.Akkor folytonos, ha a határértékét felveszi az adott pontban, tehát az a kérdés, hogy

lim(x->0) x*sin(1/x)=?

Ezt csendőrelvvel meg tudjuk határozni; legyen az egyik csendőr az |x|, a másik a -|x| függvény, ezeket be lehet látni, hogy tetszőleges x-re x*sin(1/x)>=-|x| és x*sin(1/x)<=|x|, következésképp a határértéküknek meg kell egyeznie x=0-ban; |x|-nel és -|x|-nek a határértéke 0-bn 0, így x*sin(1/x)-nek a határértéke 0.

Mivel a függvény 0-ban 0-t vesz fel, ezért 0-ban az is a határértéke, ezért a függvény 0-ban folytonos.