Komples számok skaláris szorzata hogy működik?

az egyik oldal hosszát megszorzod a másik oldal hosszával amit megszorzol a köztük lévő szög Cosinusával pl.:

AB->=a=22 AC->=b=15

akkor a skaláris szorzatuk=a*b*cos(fi)

Amit írtál a pszíkkel, az nem komplex számok skalárszorzata, hanem komplex értékű függvényeké.

Ha nem lenne integrál, akkor nem lenne skalárszorzat. A skalárszorzat egy vektortérből az alaptestbe képező szimmetrikus bilineáris leképezés.

A vektortér most a komplex függvények, az alaptest a valós számok. Ha két függvényt összeszorzol az még nem lesz szám, vagyis nem lesz az alaptest eleme. Az integrál értéke már az alaptest eleme.

Skalárszorzatot sokféle vektor között lehet definiálni.

Például 3 dimenziós valós vektorok esetén:

<v, w> = v₁·w₁ + v₂·w₂ + v₃·w₃

Vagy pl. 3 dimenziós komplex vektorok esetén:

<v, w> = v₁*·w₁ + v₂*·w₂ + v₃*·w₃

ahol a csillag a komplex konjugáltat jelenti. (Szokták úgy is, hogy a második vektort konjugálják, akkor fordítva adják meg a skalárszorzat néhány tulajdonságát... <v,λw> = λ<v,w> helyett például <λv,w> = λ<v,w> szerepel.)

Ha n dimenziós komplex vektorokról van szó, akkor persze ez a skalárszorzat:

<v, w> = Σ vᵢ*·wᵢ

Ha pedig végtelen dimenziós függvényterekről van szó, akkor a szumma helyett integrál lesz:

<f, g> = ∫ f(x)*·g(x) dx

Tudtommal Hilbert figyelt fel rá, hogy ha f(x) és g(x) négyzetesen integrálható függvények egy valamilyen (a,b) intervallumon, vagyis ∫f(x)² dx < ∞ (a-tól b-ig integrálva), illetve komplex függvény esetén ∫f(x)*·f(x) dx < ∞, akkor

∫ f(x)*·g(x) dx rendelkezik a skalárszorzat tulajdonságaival, amik ezek:

<f,f> ≥ 0

<f,g> = <g,f>*

<f,λg> = λ<f,g>

<f,g+h> = <f,g> + <f,h>

Ha pedig valami rendelkezik ilyen tulajdonságokkal, akkor nevezhetjük skalárszorzatnak, és mondjuk definiálhatjuk a segítségével azt, hogy két függvény merőleges, vagy hogy mi a kettő közötti szög koszinusza...