Mi a várható értéke az alábbi esetnek, másképp fogalmazva mennyi ér meg, hogy játszhassak az alábbi játékkal?
Feldobok egy pénzérmét. Ha fej újradobhatok. Ha megint fej, megint újradobhatok, amig csak fejet dobok addig újradobhatok. A nyereményem pedig kettő-az-x-ediken forint, ahol "x" az egymás után dobott fejek száma.
Az a trükk benne, hogy egyre kevesebb az esélye, hogy sok fejet dobjak, hatványozottan, ám a megnyerhető összeg is hatványozódik.
Józan paraszti ésszel az, hogy 1x dobok fejet 0,5 a valószinűsége. Nyereményem: 2 forint, várható értéke 2*0,5 = 1 ft. Ha 2x dobok fejet, annak 0,25 az esélye, viszont 4 ft-ot nyerek. Várható értéke 4*0,25 = 1 ft. Ha 3x, akkor a várható nyeremény: 8*0,125, azaz megint csak 1 ft. Ha ezeket összeadom, akkor 1+1+1+1+1+stb. a végtelenig, akkor az jön ki, hogy végtelen a várható nyeremény, ami nyilvánvalóan nem reális.
A számitógép szerint (több ezer eset nyereményét adtam össze, majd osztottam az esetek számával) valami 6 vagy 8 körül jött ki, már nem emlékszek. Végülis mi a megoldása?
válasza: válasza:Bontsuk fel az eseményteret aszerint, hogy mikor ér véget a játék!
- 1/2 valószínűséggel elsőre írást dobok és véget ér a játék, ekkor nyereményem -x Ft
- 1/4 valószínűséggel másodikra dobok írást, a nyereményem ekkor -2x+2^1...
-1/2^n valószínűséggel n-edik alkalomra dobok írást és a nyereményem -nx+2^(n-1).
Ezt összegezve:
Szum(n=1..inf)(1/2^n(-nx+2^n-1))=Szum(n=1..inf)(-nx/2^n)+Szum(n=1..inf)(1/2)
válasza:Kizárt dolognak tartom, hogy az alapszabály szerint ne nullázódjon a pénzed, amikor írást dobsz.
De tegyük fel, nem nullázódik.
Tegyük fel, hogy max 3 dobásig játszol mindig, mert akkor van először nyereményed.
Annak az esélye, hogy 3 fejet dobsz egymás után, 0,5X0,5X0,5=0,125. Statisztikailag így 8 játékonként nyersz 2 Ft-ot, 4 játékonként mínusz 2 Ft-ban vagy, 2 játékonként -4 Ft-od van meg a maradékban -5 Ft.
Így átlagosan 8 játékból van +2 Ft és -27 Ft.
Vizsgáld meg, ha azt feltételezed, hogy elmész 4 fejdobásig, a nyeremény így kb. 16 dobásonként lesz 15 Ft, 8 dobásonként 2 Ft, az összes többiben mínusz! Egyre rosszabb.
Még így is egy kalap xar az esélyed a nyerésre. :)
köszi a jó sok kommentet.
Akkor tisztázzuk a játékot, mert úgy látszik, nem sikerült jól elmagyaráznom.
Egy menet abból áll, hogy feldobod a pénzt. Ha fej, ujradobod. Ha megint fej, megint ujradobob. Egészen addig, amig irás nem lesz. Ekkor lesz egy szám, ami a sorozatban dobott fejek számát jelenti. Legyen ez X. X értéket tehát lehet: 0,1,2,3,4...stb.
Egy menet után a kötkező pénzösszeget kapod: 2 az x-edikent. Ez lehet: 1,2,4,8,16...stb.
Tehát a lekisebb kapott összeg az 1 Ft, ugyanis 2 a nulladikon az 1.
Az a kérdés, hogy 1 menetért mennyi pénzt vagy hajlandó kiadni, azaz mennyi a játék várható értéke.
Tehát a válaszok:
"Ahányszor írást dobsz, az addigi fejdobásokkal begyűjtött összeg nullázódik, tehát buktad a bedobott 5 forintot is.". Szóval nem nullázódik, és azért nem, mert igy van a játékszabályban :-)
"1+1+1+1+1
Ez így rendben van. Ebből az következik, hogy egyetlen dobás értéke a dobások számának emelkedésével 1-hez konvergál."
0,5 höz konvergál, és 1 ről indul.
Azaz ha korlátoznánk a menetenkénti dobások számát:
1-re, a várható érték 1,5 lenne.
2-re, a várható érték 2 lenne.
3-ra, a várható érték 2,5 lenne.
De mivel nincs korlátozva ezért a végtelenhez tart.
Tehát elvileg 1 milliárd forintért is megérné játszani, hiszen a várható érték a végtelen :-)
"Szerintem az a hiba a logikátokban, hogy a játékért fizetett pénz is a végtelenbe tart"
Micsoda?? :-) A játékért 5 Ft-ot fizetek menetenként. Az a kérdés, hogy megéri-e.
"nyereményem ekkor -2x+2^1."
Nem, mert csak egy menetért csak egyszer kell fizetni, tehát: -x+2-az-elsőn.
"Ez így rendben van. Ebből az következik, hogy egyetlen dobás értéke a dobások számának emelkedésével 1-hez konvergál. Hosszú távon körülbelül tehát annyi forintod lenne, ahányszor feldobod a pénzt, függetlenül a fejek és írások sorrendjétől. Végtelen dobás esetén végtelen forint.
De nagyon fontos, hogy ez csak akkor igaz, ha "ingyen" dobálhatsz, ha nem tudsz veszíteni! Ha minden dobás 1 forintba kerül, akkor hosszú távon nullára jössz ki, de ha pl. 5 forintba, akkor hosszú távon mindenképp veszítesz, méghozzá 4 ft/dobás átlagot."
Kevered a menetet a dobásokkal.
1 menet állhat 1 dobásból is, de 1000 dobásból is, attól függően hogy mikor dobsz irást.
Az 5 forintot menetenként kell fizetni.
Én azt állitom, hogy 1 menetből átlagosan milliárdos leszel. Én is tudom, hogy ez hülyeség, de a matematika azt mondja, hogy 1 menet (tehát nem dobás) várható értéke több milliárd, egészen pontosan végtelen.
persze bizonyitani is tudom :-)
korlátozzuk le a maximálisan dobálható fejek számát 1-re.
Ekkor vagy fej, vagy irás. Ha irás, nyertél 1 ft-t, ha fej, nyertél 2 ft. Várható érték 1,5 ft. Korlátozzuk max 2-re a dobálható fejek számát. Ekkor legegyszerűbben az össze kombinációt irjuk fel: irás, fej-irás, fej-fej.
irás = 1 Ft
fej-irás = 2 Ft
fej-fej = 4 Ft
összes eset 4 darab
össz nyeremény 1+1+2+4 = 8 ft
várható érték 8/4 = 2 ft
Azért 4 eset, mert a sima irás dupla akkora esélyel következik be, mint a fej-irás.
Ha érdekel, el tudom magyarázni :-)
Korlátozások / várható érték
1 / 1,5 Ft
2 / 2 Ft
3 / 2,5 Ft
4 / 3 Ft
5 / 3,5 Ft
ne korlátozzuk / végtelen
Azaz egyetlen menet várható értéke végtelen. 1 menet pedig 5 Ft-ba kerül.
Számitógéppel számittattam, valahol 6 és 8 ft körül mozgott a várható érték.
válasza:Jó most már értem, így valóban a játék várható értéke Szum(n=1..inf)(1/2)-x=inf, bármely x-re.
A gyakorlatban ez azért nem működik, mert a valószínűségi változó sűrűségfüggvénye túl gyorsan nő. Ha pl. felteszel 1000 Ft-ot, akkor legalább 11-szer kell fejet dobnod egymás után, hogy megérje a játék. Ennek a valószínűsége viszont kevesebb, mint 0,1%!
Erről jut eszembe az a vicc, amikor olyan játékot szerveznek, ahol a nyeremény várható értéke végtelen. A játék győztesének utána elmondják a kifizetés ütemezését: az első héten 1 Ft, a második héten 1/2 Ft, stb...
válasza:A várható értéke végtelen, ez azt jelenti, hogy bármennyibe is kerül egy menet, végtelen sok ideig játszva előbb-utóbb előfordul az az eset, hogy többet nyersz, mint amit addig veszítettél. De még a számítógépes szimuláció se tud végtelen ideig játszani, ezért jöhetnek ki kisebb értékek :)
Nálam 30 0000 dobásig játszva a várható értékek (menetenként, nem dobásonként számítva!) nem egy érték körül szóródnak, legalábbis nem normál eloszlással (többször futtatva a 30 000 dobást):
15,8
17,1
7,2
7,6
6,2
26,3
12,8
48,1
6,7
8
10,8
stb.
Ennek alapján nem merném mondani, hogy a szimulációban valami 6-8 körüli jött ki, csak ha egyszer futtatom a szimulációt :)
A valóságban ha végtelen pénzünk van (mondjuk mi vagyunk a jegybank, és annyit nyomtatunk, amennyit akarunk) akkor nem nagyon érdekel minket, hogy ennyi pénz birtokában biztosan végtelen pénzt nyerhetünk. Ha nincs végtelen pénzünk, máris nem feltétlenül végtelen a várhatóérték (bár az elvileg előforduló maximum továbbra is az).
Ha úgy módosítjuk a szimulációt, hogy Monte Carlóban minden este elmegyünk játszani 100 dollárral, és vagy elfogy az összes pénzünk, és hazamegyünk, vagy reggel lesz és hazamegyünk (a dobások száma túllépett egy limitet), akkor már nem végtelen a napi nyeremény várható értéke. Eleve a dobássszám maximálása beállít egy limitet, a pénzelfogyás lehetősége pedig csökkenti ennek és a további nyereményeknek az esélyét.
válasza:A várható nyeremény x menetnél kb.: x * log2(x) / 2
Tehát 1000-nél kb 5000, 1mill-nál kb 10mill, 1md-nél 15md.
Utolsó Kommentelő, hogy jött ki ez az érték?
Én úgy gondolom, hogy mivel független menetekről van szó, ezért a várható nyeremény x menet után:
<menetek száma> * <1 menet várható értéke>
Így csak akkor lehet számolni, ha a menetek között nincs korreláció, kapcsolat, vagy mifene, tehát teljesen független menetekről van szó.
Mivel itt pont ez a helyzet, ezért lehet igy számolni szerintem.
Te azt állitod, ha jól értem, hogy <1 menet várható értéke> függ a menetek számától. Kifejtenéd, hogy hogy jött ki? köszi!
Kapcsolódó kérdések:
Minden jog fenntartva © 2024, www.gyakorikerdesek.hu
GYIK | Szabályzat | Jogi nyilatkozat | Adatvédelem | Cookie beállítások | WebMinute Kft. | Facebook | Kapcsolat: info(kukac)gyakorikerdesek.hu
Ha kifogással szeretne élni valamely tartalommal kapcsolatban, kérjük jelezze e-mailes elérhetőségünkön!