Mi a várható értéke az alábbi esetnek, másképp fogalmazva mennyi ér meg, hogy játszhassak az alábbi játékkal?
Feldobok egy pénzérmét. Ha fej újradobhatok. Ha megint fej, megint újradobhatok, amig csak fejet dobok addig újradobhatok. A nyereményem pedig kettő-az-x-ediken forint, ahol "x" az egymás után dobott fejek száma.
Az a trükk benne, hogy egyre kevesebb az esélye, hogy sok fejet dobjak, hatványozottan, ám a megnyerhető összeg is hatványozódik.
Józan paraszti ésszel az, hogy 1x dobok fejet 0,5 a valószinűsége. Nyereményem: 2 forint, várható értéke 2*0,5 = 1 ft. Ha 2x dobok fejet, annak 0,25 az esélye, viszont 4 ft-ot nyerek. Várható értéke 4*0,25 = 1 ft. Ha 3x, akkor a várható nyeremény: 8*0,125, azaz megint csak 1 ft. Ha ezeket összeadom, akkor 1+1+1+1+1+stb. a végtelenig, akkor az jön ki, hogy végtelen a várható nyeremény, ami nyilvánvalóan nem reális.
A számitógép szerint (több ezer eset nyereményét adtam össze, majd osztottam az esetek számával) valami 6 vagy 8 körül jött ki, már nem emlékszek. Végülis mi a megoldása?
válasza:Tehát veszíteni nem lehet, csak nyerni, ugye?
Ahogy dobálod az érmét, akkor az általad is kiszámolt 1 Ft-hoz fog közelíteni egy dobás értéke, attól függetlenül, hogy melyik dobás után zsebeled be az aktuális nyereményedet. Ha jól gondolom.
Ignoramus
fölveszek egy igazságtáblázatot. Ha 1 dobásra veszem föl, igy néz ki (0 = irás, 1 = fej) 0->1Ft, 1-> 2Ft => várható érték össznyeremény osztvan összes eset 3/2 = 1,5 Ft
Ha 2 dobásra 00->1Ft, 01->1Ft, 10->2Ft, 11->4Ft => VÉ=8/4= 2Ft. Ha 3 dobásra 000->1Ft, 001->1Ft, 010->1Ft, 011->1Ft, 100->2Ft, 101->2Ft, 110->4Ft, 111->8Ft=> VÉ= 2,5 Ft. Ha 4 dobást veszek akkor 3 Ft a várható érték. Az a bajom, hogy minél tovább nézem meg, annál nagyobbra jön ki a várható érték. Mivel akárhányszor újradobhatom fej esetében nekem az jön ki, hogy bármennyi összeget érdemes rááldozni erre e a játékra, mert a várható érték végtelen. Tudom, hogy itt valami nem smakkol, csak kb. 20 éve gondolkodok ezen a példán. Még egyetemen hallottam róla, de sajnos a megoldásra már nemfigyeltem, azóta sem tudom mi a megoldás :-)
válasza:>bármennyi összeget érdemes rááldozni erre e a játékra
Hol teszel fel pénzt? Hogy és mennyit lehet veszíteni? Az eddig leírtakban csak a nyerésről van szó.
válasza:Kimaradt, hogy mondjuk 1 Ft-ba kerül minden dobás.
Mert akkor máris nullához konvergál a nyeremény.
Akkor jöjjön a körítés :-)
Bemész egy kaszinóba, leszülsz egy asztalhoz. Ott azt mondják neked:
- Ide figyelj, itt ez a játék. 5 Ft-ba kerül mentenként.
Egy menet addig tart, amíg folyamatosan fejet dobsz, és annyit nyersz amennyit az alábbi képlet mutat: kettő-az-ikszediken, ahol x az egymás után dobott fejek száma.
Kérdés: megéri-e játszani hosszútávon ezt a játékot.
Az én számitásom azt mutatja, hogy mivel a végtelenhez konvergál, bármennyiért érdemes játszani, akár még 1 milliárd forintért is. Nyilván valami nem százas itt, csak azt nem tudom, hogy mi.
1 Ft-hoz biztos nem konvergál, mert ha csak 1 dobást nézük, akkor vagy fej vagy irás. Ha irás, kettő a nulladik 1 Ft. Ha fej akkor kettő az elsőn, ami 2Ft. Az átlaguk 1,5 Ft. Ez akkor van, ha 1 dobás után mindenképp abba kell hagynod. De te dobhatsz 10x egymás után is fejet, ami 2-a-tizediken=1024 Ft.
Az én számitásom szerint, ha csak 1-et dobhatsz, a várható érték 1,5 Ft. Ha max 2x dobhatsz, a várható érték 2Ft. Ha max 3-at dobhatsz, a várható érték 2,5Ft. Idáig van kiszámolva a leirásban. De ha kiszámolod max 4 dobásig, az jön ki, hogy a várható érték 3. 5-nél 3,5Ft, 6-nál 4Ft, max 1000 nél 501 a várható érték. És mivel végtelenszer dobhatsz a várható érték is végtelen.
Ez a problémám.
válasza:Jól látod, ELMÉLETILEG végtelen a várható nyeremény:
1/2*1 + 1/2*2 + 1/4*4 + 1/8*8 +... = végtelen
GYAKORLATILAG: nem számíthatsz rá, hogy kifizetnek neked 2^1000 vagy 2^100, de még 2^50 ft-ot sem.
Arra sem számíthatsz, hogy végtelen kísérleted lehet, de még 10^9 sem, esetleg számítógéppel max. 10^20.
Tegyük fel, hogy 2^30 kísérleted lehet, és 2^30 ft-ig kifizetnek, ekkor kb 29-30 ft-ot ér a kísérlet - szerintem.
:-)
Az a bajom még mindig, hogy egyedül a természettudományoknál van az , hogy ami elméletileg úgy van az a valóságban is úgy van :-)
Illetve úgy kellene lennie :-)
válasza:De lehet , hogy csak a fele, mert elszámoltam: :D
Rossz: "1/2*1 + 1/2*2 + 1/4*4 + 1/8*8 +... = végtelen " Helyesen: "1/2*1 + 1/4*2 + 1/8*4 + 1/16*8 +... = végtelen " , azaz minden tag csak 1/2, nem 1.
válasza:Ahányszor írást dobsz, az addigi fejdobásokkal begyűjtött összeg nullázódik, tehát buktad a bedobott 5 forintot is. Hiába dobsz egymás után 5X fejet, ha nem hagyod abba és hatodikra írás jön, nem 2 az 5.-en pénzed van, hanem -5 Ft-od.
Ha 2X dobsz fejet, az még csak 3 forint, tehát -2 Ft-ban vagy. Ha harmadikra írás jön, megint buktad.
3X kell egymás után fejet dobnod, hogy ne legyél veszteséges, vagyis visszakapd az 5 Ft-odat meg némi pluszt. Ha 3 fej dobás után kiszállsz, nyertél 1+2+4 Ft-ot, az 7 Ft, tehát 7-5=2 Ft pluszban vagy. Ha tovább dobsz, vagy gyűlik a nyeremény, vagy bukod az egészet és ott vagy mínusz 5 Ft-nál.
Gondolj bele, ha mondjuk a tökéletes statisztikai átlag szerint 1 fej dobást 1 írás követ, ha egy dobást veszel egy játékba, akkor is vagy 4 vagy 5 forintot buktál.
Ha pluszban akarsz lenni, azt kell tenni, mint minden nyerőgépnél vagy szerencsejátéknál, csak annyit rászánni, amennyi nem fáj, ha bukod, így jártál, ha egy kis nyereményt elérsz, azonnal abbahagyni és futni a nyereménnyel. :)
válasza:>Józan paraszti ésszel az, hogy 1x dobok fejet 0,5 a valószinűsége. Nyereményem: 2 forint, várható értéke 2*0,5 = 1 ft. Ha 2x dobok fejet, annak 0,25 az esélye, viszont 4 ft-ot nyerek. Várható értéke 4*0,25 = 1 ft. Ha 3x, akkor a várható nyeremény: 8*0,125, azaz megint csak 1 ft. Ha ezeket összeadom, akkor 1+1+1+1+1+stb. a végtelenig, akkor az jön ki, hogy végtelen a várható nyeremény, ami nyilvánvalóan nem reális.
Ez így rendben van. Ebből az következik, hogy egyetlen dobás értéke a dobások számának emelkedésével 1-hez konvergál. Hosszú távon körülbelül tehát annyi forintod lenne, ahányszor feldobod a pénzt, függetlenül a fejek és írások sorrendjétől. Végtelen dobás esetén végtelen forint.
De nagyon fontos, hogy ez csak akkor igaz, ha "ingyen" dobálhatsz, ha nem tudsz veszíteni! Ha minden dobás 1 forintba kerül, akkor hosszú távon nullára jössz ki, de ha pl. 5 forintba, akkor hosszú távon mindenképp veszítesz, méghozzá 4 ft/dobás átlagot.
Kapcsolódó kérdések:
Minden jog fenntartva © 2024, www.gyakorikerdesek.hu
GYIK | Szabályzat | Jogi nyilatkozat | Adatvédelem | Cookie beállítások | WebMinute Kft. | Facebook | Kapcsolat: info(kukac)gyakorikerdesek.hu
Ha kifogással szeretne élni valamely tartalommal kapcsolatban, kérjük jelezze e-mailes elérhetőségünkön!