Hogyan kell megoldani a hermész egyenlőtlenség fordulatot?

Legegyszerűbb, de nem kézenfekvő megoldás:

Az [0,1/3[ intervallumon igaz az állítás, minden nulla.

Könnyű belátni, hogy ha x értékét 1/3-dal növeljük, akkor mindkét oldal éppen 1-gyel nő. (Így nyilván, ha 1/3-dal csökkentjük, akkor 1-gyel csökken mindkét oldal.)

Tehát kész a bizonyítás, ugyanis [0,1/3[-ból 1/3-assával bármilyen valós számba ellépegethetsz.

Másik, sztenderd megoldás:

Átírod az összeset törtrészre, rendezés után:

1 + {3x} = {x} + {x+1/3} + {x+2/3}

Innentől esetszétválasztás 0<={x}<1/3, 1/3<={x}<2/3 és 2/3<={x}<1 esetekre, amelyeknél {3x} értéke rendre 3{x}, 3{x}-1 és 3{x}-2 lesz. {x} marad önmaga {x+1/3} rendre {x}+1/3, {x}+1/3, {x}+1/3-1, és végül {x+2/3} pedig rendre {x}+2/3, {x}+2/3-1, {x}+2/3-1.

Az egyenletben az {x} mindenütt kiesik, a mínuszok a két oldalon mindhárom esetben egyenlők, tehát marad az 1=1 azonosság.