Igaz-e, hogy ha néhány szám szorzata 1, akkor a négyzeteik összege legalább akkora, mint a reciprokaik összege?

Nem igaz. Legyen a négy számod: X, X, X, 1/X^3, ezek négyzetösszege 3X^2+1/X^6, reciprokösszege X^3+3/X. Ha tehát X elég nagy, pl. X=100, akkor a reciprokösszeg nagyobb.

Legfeljebb két számra viszont igaz, legyen a>=1, ekkor a két szám ilyen alakú: a+1/a <= a^2+1/a^2. Legyen S=gyök(a)-1/gyök(a)>=0. Ekkor könnyen látszik, hogy a+1/a = S^2 + 2, a^2+1/a^2 = (S^2+2)^2-2 = S^4+4S^2+2, kivonva egyiket a másikból: (a^2+1/a^2)-(a+1/a) = S^4+4S^2+4 -S^2 - 2 - 2 = S^4+3S^2, ami nyilván nemnegatív.

Pontosan 3 számra nem tudom, jó kérdés.

Mégis igaz az állítás, pontosan 3 számra is! Legyen a három számod a, b és c, és tudjuk azt, hogy abc=1. Ekkor viszont bármit megszorozhatunk abc=1-gyel, az értéke nem változik.

Ekkor (1/a+1/b+1/c)*abc = bc+ac+ab, azt kell belátni tehát, hogy ab+bc+ca<=a^2+b^2+c^2. Ezt viszont könnyedén megkaphatod, ha a 0<=(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 azonosságot felbontod és rendezed.