Ezt hogyan alakítsam át teljes négyzetté?

A teljes négyzet képlete: ax^2+bx+c=(x+(b/(2a))^2-(b/(2a))^2+c/a

A képlet ijesztően nézhet ki, ezért leírom, hogyan kell teljes négyzetté alakítani tetszőleges másodfokú polinomot:

1. Normáljuk a polinomot, vagyis a másodfokú tag együtthatójával osztunk (normált polinom: a legnagyobb hatványtag (itt: a másodfokú tag) együtthatója 1).

2. Leírjuk az x-et

3. Előjeltől függően hozzáadjuk vagy kivonjuk x-ből az elsőfokú tag együtthatójának felét. Azért a felét, mert mi igazából valami (a+b)^2-es dolgot keresünk, és tudjuk, hogy (a+b)^2=a^2+2ab+b^2, tehát a 2ab-s tagot úgy kapjuk vissza, ha eredetileg a fele volt a zárójelen belül.

4. AZ előbb kapott összeget négyzetre emeljük.

5. Kivonjuk a hozzáadott/evett szám négyzetét a konstans tagból.

A példánál:

1. Mivel ez alapból normált polinom, ezért ezt a lépést nem kell megtennünk.

2. Leírjuk az x-et: (x

3. Hozzáadjuk az elsőfokú tag felét, vagyis 1-et: (x+1)

4. Négyzetre emelünk: (x+1)^2

5. Kivonjuk az 1 négyzetét a konstansból: (x+1)^2-5

Tehát: x^2+2x-4=(x+1)^2-5

Elsőre talán nehéznek tűnhet, de pár feladaton gyakorolva könnyen rögzül.

Megjegyzés: ez csak másodfokú kifejezésekre érvényesül, nagyobbakra már nem (ha jól tudom, legfeljebb negyedfokú polinomok teljes hatvánnyá alakítására van egyértelmű algoritmus).